När används y=ca^x och y=ce^(kx)

y=ce^(kx) är enklare att derivera och integrera. Den brukar förekomma i naturvetenskap, till exempel inom fysik (halveringstid) och biologi (exponentiell tillväxt).

y=ca^x är den allmänna potensformeln.

Matematiskt kan de funktioner du nämner beskriva precis samma samma sak (sätt $k=\ln \left(a\right)$ i ditt exempel, så blir de samma funktion). Som MagnusO skriver, talet $e$ använder man ofta eftersom det är "naturligt" och "enkelt" på många olika sätt. Men i andra sammanhang så kan det vara behändigare att skriva en funktion med annan bas än $e$. Till exempel då man vill fokusera på, som MagnusO skriver, halveringstider där funktionsvariabeln beskriver en tid. I ett sådant fall är det behändigt att använda basen $a=\frac{1}{2}$och funktionen $N=N_0·{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$eftersom det blir väldigt enkelt att identifiera halveringstiden $T$ i exponenten. Eller basen $a=2$och funktionen $N=N_0·2^{-\frac{t}{T}}$ger samma åskådlighet av halveringstiden.

Så det spelar absolut ingen roll vilken bas du använder, såklart förutsatt att inte uppgiften talar om att du ska använda en specifik bas. Utan har man möjlighet så kan man använda den bas som är enklast att hantera i sammanhanget.