När andraderivata är noll

Som ett svar på din direkt fråga: En terrasspunkt.

Gör följande substitution i uppgiften: g(x) =f'(x). då blir g'(x) = f''(x) och frågeställningen blir bestäm g(6)

Blir det lättare då?

Kan du skissa upp g(x)? Vilken typ av kurva är det?

Tack och tack.

Ja, det blir lättare då. Om derivata g' är noll då g(4)=g(6).

Hur kan jag använda mig av terrasspunkten för att lösa uppgiften?

På det sätt du har gjort - genom att inse att derivatan av f'(4) = 0 så att det är en symmetrilinje för f' när x = 4.

EDIT: Läste det jag trodde det stod och inte det som det verkligen stod.

Nej, g(4) är inte g(6). g(x) är en parabel med minpunkten (4,0). Den passerar genom (2,-1).

Ah ok men hur löser jag den då?  Jag antog att om g' inte förändrats det var bara att gå rak fram till g(6)

Daja skrev :

Ah ok men hur löser jag den då?  Jag antog att om g' inte förändrats det var bara att gå rak fram till g(6)

g(x) som Ture definierade är alltså av en grad lägre än f(x). g(x) kommer vara symmetrisk kring dess derivatas nollställe och kan alltså skrivas på formen:

$g\left(x\right)=a{\left(x-4\right)}^2+b$

Vad blir då g(6) om g(2) = -1 ?

Ah men just det, jag glömde att vi hade f(2). Om kurvan är symmetrisk kring x=4 f(2) är lika med f(6).

Vag jag måste komma ihåg nu är:

när andraderivata är neg har vi en maximipunkt och när den är positiv har vi en minimipunkt (men det visste jag från Brad Pitt principen). När den är noll, vi har en terrasspunkt och även en maxi eller minimipunkt på första derivata ?

Det blir typ : http://www.sketchtoy.com/68111528

 Eller https://www.google.se/?gfe_rd=cr&ei=qDEgWYGIJIOr8weT96DoDA&gws_rd=ssl#q=x^3-6x^2%2B9x+and+3x^2-12x%2B9+and+6x-12

Edit: hur skulle en tredje gradare med en terrasspunkt ser ut, tillsammans med sina döttrar-funktioner?

Hej.

Att andraderivatan f''(x) = 0 för ett visst x betyder inte att f(x) har en terrasspunkt där.

Exempel:

f(x) = x^3 + 3x^2 har

f''(x) = 6x + 6 och alltså

f''(x) = 0 för x = -1.

f(x) har en inflexionspunkt vid x = -1, men det är ingen terrasspunkt.

Yngve, hur definierar du terrasspunkt respektive inflexionspunkt? (Wikipedia var inte hjälpsam den här gången, länkade om från terrasspunkt till sadelpunkt men det verkar handla om flera dimensioner.)

En ickeformell definition är följande:

Inflexionspunkt är den punkt där kurvan byter form, från att vara konvex till att vara konkav (eller tvärtom). Förstaderivatan har ett min- eller maxvärde i inflexionspunkten och andraderivatan är därför noll där.

En terrasspunkt är en inflexionspunkt som dessutom har egenskapen att förstaderivatan är noll där. Exempel: Origo är en terrasspunkt för f(x) = x^3

Jag tror att jag kom på något liknande när jag ritade också, att det var en värde där f'' var noll MEN det såg inte ut att vara en terrasspunkt. Jag bara antog att jag räknade eller ritade fel och försökte glömma saken.

Så du menar att f"(x)=0, även om den är inte en terrasspunkt är däremot alltid en symetrilinjen för förstaderivata?

EDIT: Kolla här (jag har tagit samma program som Smuttstvätt)

https://www.desmos.com/calculator/1ecnlcgq3l

Där har vi andra derivata som är noll men det händer ingenting på första kurva (trodde jag). Men nu vet man att det är en inflexion punkt.

Om man inte har tålamod att komma på eller helt enkelt inte hittar genvägarna till att lösa denna uppgift så fungerar även följande mer brutala metod bra:

Vi gissar att f(x) är en enkel tredjegradsfunktion, typ $f\left(x\right) = a{x}^3$ och så prövar vi om vi kan uppfylla villkoren på det sättet.

Om $f\left(x\right) = a{x}^3$ så är $f\text{'}\left(x\right) = 3a{x}^2$ och $f\text{'}\text{'}\left(x\right) = 6ax$.

Villkoret $f\text{'}\left(2\right) = -1$ går då att uppfylla, men inte villkoret $f\text{'}\text{'}\left(4\right) = 0$

Vi behöver alltså ytterligare en term i uttrycket för f''(x).

Det enklaste sättet att få fram en term i uttrycket för f''(x) är att lägga till en $x^2$-term i uttrycket för f(x).

Vi modifierar alltså vår gissning till  $f\left(x\right) = a{x}^3 + b{x}^2$.

Då blir $f\text{'}\left(x\right) = 3a{x}^2 + 2bx$ och $f\text{'}\text{'}\left(x\right) = 6ax + 2b$.

Då ger oss villkoret $f\text{'}\text{'}\left(4\right) = 0$ att $6a·4 + 2b = 0$, vilket innebär att $b = - 12a$.

Då blir $f\text{'}\left(x\right) = 3a{x}^2 + 2bx = 3a{x}^2 - 24ax = 3ax(x - 8)$

Villkoret $f\text{'}\left(2\right) = -1$ ger oss då att $3a·2·(2 - 8) = -1$, vilket innebär att $a = \frac{1}{36}$.

Det betyder att tredjegradsfunktionen $f\left(x\right) = \frac{x^3}{36} - \frac{x^2}{3}$ uppfyller båda våra villkor.

$f\text{'}\left(x\right) = \frac{3x^2}{36} - \frac{2x}{3} = \frac{x^2}{12} - \frac{2x}{3}$ ger nu att $\mathit{f}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\left(}\mathbf{6}\mathbf{\right)} = \frac{6^2}{12} - \frac{2·6}{3} = \frac{36}{12} - \frac{12}{3} = 3 - 4 =\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1}$

Daja skrev :

Så du menar att f"(x)=0, även om den är inte en terrasspunkt är däremot alltid en symetrilinjen för förstaderivata?

 

Nu måste vi vara försiktiga med generaliseringar.

En tredjegradsfunktion har en andragradsfunktion som förstaderivata och en förstagradsfunktion (linjär funktion) som andraderivata.

Så ja, för en tredjegradsfunktion gäller att dess derivata har en min- eller maxpunkt samt en symmetrilinje, och andraderivatan har alltså värdet 0 i den punkten.

Daja, nu tror jag att du är redo att skissa funktioner, deras första- och andraderivator för att se hur det hela hänger ihop.

Det kommer att ge dig utökad förståelse och göra dig bättre rustad att ta dig an och lösa mer abstrakta uppgifter.

Titta på följande två exempel och ta dig tid att verkligen förstå sambandet mellan funktionernas lutning och förstaderivatornas utseenden, samt förstaderivatornas lutning och andraderivatornas utseenden.

• Följ funktionens graf (blå) med fingret från vänster till höger, fundera på grafens lutning och hur den hänger ihop med förstaderivatans (röd) utseende.
• Gör sedan samma sak med förstaderivatan, följ dess graf (röd) med fingret från vänster till höger, fundera på grafens lutning och hur den hänger ihop med andraderivatans (grön) utseende.

Exempel 1: Tredjegradsfunktion (blå), dess förstaderivata (röd) och andraderivata (grön).

Tredjegradsfunktionen har en inflexionspunkt vid x = -1, men det är inte en terrasspunkt.

Exempel 2: Tredjegradsfunktion (blå), dess förstaderivata (röd) och andraderivata (grön).

Tredjegradsfunktionen har en inflexionspunkt vid x = 0, detta är även en terrasspunkt.

Hej igen Yngve,

Först måste jag tacka för en så lång och detaljerad förklaring!

Jag tror att jag är med på f'(x) (andragradfunktion), motsvarar lutningen hos den primära tredjegradsfunktion. På samma sätt f'' (första grad) blir negativ när parabolen f'(x) avtar och positiv när f'(x) växer.

I andra exemplet du gav, fick vi en terrasspunkt för att den tredjegradare (bara x^3 utan ytterligare faktor) kan bara växa.

Jag undrar om vi kan hitta en tydligare samband mellan dotter och mormor f''(x) och f(x), när f''(x)=0. Finns det en sätt att avgöra om det är en inflexion punkt eller en terrasspunkt?

Daja skrev :

Hej igen Yngve,

Först måste jag tacka för en så lång och detaljerad förklaring!

Jag tror att jag är med på f'(x) (andragradfunktion), motsvarar lutningen hos den primära tredjegradsfunktion. På samma sätt f'' (första grad) blir negativ när parabolen f'(x) avtar och positiv när f'(x) växer.

I andra exemplet du gav, fick vi en terrasspunkt för att den tredjegradare (bara x^3 utan ytterligare faktor) kan bara växa.

Jag undrar om vi kan hitta en tydligare samband mellan dotter och mormor f''(x) och f(x), när f''(x)=0. Finns det en sätt att avgöra om det är en inflexion punkt eller en terrasspunkt?

Inte eller.

En terrasspunkt är per definition en inflexionspunkt.

Alla terrasspunkter är inflexionspunkter, men det är inte så att alla inflexionspunkter är terrasspunkter.

Du kan avgöra om det är en terrasspunkt eller inte genom att följa det tips jag gav tidigare, nämligen följande:

Yngve skrev :

En ickeformell definition är följande:

Inflexionspunkt är den punkt där kurvan byter form, från att vara konvex till att vara konkav (eller tvärtom). Förstaderivatan har ett min- eller maxvärde i inflexionspunkten och andraderivatan är därför noll där.

En terrasspunkt är en inflexionspunkt som dessutom har egenskapen att förstaderivatan är noll där. Exempel: Origo är en terrasspunkt för f(x) = x^3.