|N|=|Q+|, fine - men varför kan vi bara ignorera dubletter?

Hej!

I "beviset" för att $|\mathbb N |=|\mathbb Q_+|$ ritade min föreläsare upp den klassiska "ormen" som ett sätt att definiera en mappning $f: \mathbb N \rightarrow\mathbb Q_+$ jag bifogat längst ner i detta inlägg. En nyckel för visa att två mängder har samma kardinalitet är att man hittar en bijektiv funktion mellan de.

Definitionen av injektivitet är ju att $f$ bijektiv om vi har att $f(x_1)=f(x_2)$ , så är $x_1=x_2$ . Men som ni ser valde han att inte räkna med vissa saker som är ekvivalenta med varandra i mappningen, exempelvis är $1=\frac 2 2$ så vi struntar i $\frac 2 2$ . Här är det ganska intuitivt varför det skulle stämma, men eftersom man ignorerar vissa element i $\mathbb Q_+$ , har man väl egentligen inte fått med hela mängden?

Det känns som att många andra typer av bevis skulle bli lätta om man kan ignorera dubletter, dvs. element i en mängd som är ekvivalenta med varandra, men det känns som att det formellt sett kan vara ganska farligt att göra?

Jag kanske missförstår vad du menar, men $1$ och $2/2$ är samma element i $\mathbb Q$ . I den vanliga konstruktionen av $\mathbb{Q}$ använder man ju ekvivalensklasser av par av heltal modulo $\sim$ , där

$(a,b)\sim (c,d)\iff ad = bc$ , där $(a,b),(c,d) \in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0 \})$

Vi ser då att elementet 1 och 2/2 definieras av samma ekvivalensklass, varför de måste vara samma element.

Det är så jag resonerar i alla fall.

naytte skrev:
Jag kanske missförstår vad du menar, men $1$ och $2/2$ är samma element i $\mathbb Q$ . I den vanliga konstruktionen av $\mathbb{Q}$ använder man ju ekvivalensklasser av par av heltal modulo $\sim$ , där

$(a,b)\sim (c,d)\iff ad = bc$ , där $(a,b),(c,d) \in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0 \})$

Vi ser då att elementet 1 och 2/2 definieras av samma ekvivalensklass, varför de måste vara samma element.

Det är så jag resonerar i alla fall.

Aha okej, nej det besvarar min fråga faktiskt. Har inte funderat på den mer formella defintionen av $\mathbb Q$ , det makear mer sense nu när du skrivit upp den. Tack!

Ingen orsak!

Men det verkar ju som en ganska enkel grej att bara nämna i förbifarten som föreläsare... Tycker ofta det är så... Fattar inte varför föreläsare inte bara kan nämna sådana detaljer när det hade tagit högst 5 ytterligare sekunder.

En annan grej är ju att det inte bara finns dubletter av varje "symbol", utan det finns ju faktiskt oändligt många.

naytte skrev:
Ingen orsak!

Men det verkar ju som en ganska enkel grej att bara nämna i förbifarten som föreläsare... Tycker ofta det är så... Fattar inte varför föreläsare inte bara kan nämna sådana detaljer när det hade tagit högst 5 ytterligare sekunder.

En annan grej är ju att det inte bara finns dubletter av varje "symbol", utan det finns ju faktiskt oändligt många.

Jag blev också extra förvirrad för att min favoritmatteyoutuber (delad 1a plats med 3b1b!) har en video där han täcker beviset (se länk), men inte nämner något om dubletterna utan ritar med de. Men nu förstår jag att det är ekvivalent att arbeta på båda sätten.

Svara

Visa senaste svar