n! och utveckla kombinationer

Liiindebeerg skrev :

Hej,

Jag läser ma5 och har inte riktigt greppat en del gällande n! samt en relevant uppgift. 

 

Jag förstår hur boken gör i sina utvecklingar, exempelvis $\left(\begin{array}{c}n+1\\ n-1\end{array}\right)=\frac{n(n+1)}{2}$. När jag utvecklar blir det följande: 

$\left(\begin{array}{c}n+1\\ n-1\end{array}\right)=\frac{(n+1)!}{(n-1)!(n+1-(n-1)!}=\frac{(n+1)!}{2!(n-1)}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}$

 

Hur får boken det till "n(n+1)" i täljaren? Agerar "(n-2)"  =n eller har jag gjort fel i min utveckling?  

 

Likadant när boken förenklar $m^2=2*\left(\begin{array}{c}m\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}m\\ 1\end{array}\right)=2*\frac{m(m-1)}{2}+m$

 

vart får de "m(m-1)" och "+m" ifrån? Använder de Pascals formel eller hur utvecklar de kombinationen? 

 

Tacksam för en förklaring! 

Hur får du till (n - 2)-parentesen i din täljare? Titta på utvecklingen av fakulteterna:

(n + 1)! = (n + 1)*n*(n - 1)*(n - 2)*...

(n - 1)! = (n - 1)*(n - 2)*(n - 3)*...

Vilka faktorer är gemensamma och kan förkortas bort? 

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}n+1\\ n-1\end{array}\right)=\frac{(n+1)!}{(n-1)!(n+1-(n-1\left)\right)!}=\frac{(n+1)!}{(n-1)!\left(2\right)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)! \times 2} \\ =\frac{n(n+1)}{2} (n+1)! tar ut varandra från både nämnaren och täljaren \\ Det är en enkel formel att behålla i minnet: \\ \left(\begin{array}{c}m\\ 2\end{array}\right)=\frac{m!}{(m-2)!2!}=\frac{m(m-1)(m-2)!}{(m-2)!2!}=\frac{m(m-2)}{2} eftersom (m-2)! tar ut varandra från nämnaren och täljaren \\ Du kan lösa\left(\begin{array}{c}m\\ 1\end{array}\right) på samma sätt. \end{gathered}$$

Smutstvätt skrev :

(n + 1)! = (n + 1)*n*(n - 1)*(n - 2)*...

(n - 1)! = (n - 1)*(n - 2)*(n - 3)*...

Men det jag inte förstår är varför du har "*n*" på den översta men inte på den understa? Och vad händer med "(n-3)"  då den inte kan förkortas bort? 

Liiindebeerg skrev :

Smutstvätt skrev :

(n + 1)! = (n + 1)*n*(n - 1)*(n - 2)*...

(n - 1)! = (n - 1)*(n - 2)*(n - 3)*...

Men det jag inte förstår är varför du har "*n*" på den översta men inte på den understa? Och vad händer med "(n-3)"  då den inte kan förkortas bort? 

För att den översta börjar på (n + 1), och går nedåt, via n, (n - 1), (n - 2) osv. Den undre börjar på (n - 1) och går nedåt, via (n - 2), (n - 3), osv. Vilka faktorer kommer att vara gemensamma i dessa kedjor? 

För att den översta börjar på (n + 1), och går nedåt, via n, (n - 1), (n - 2) osv. Den undre börjar på (n - 1) och går nedåt, via (n - 2), (n - 3), osv. Vilka faktorer kommer att vara gemensamma i dessa kedjor? 

Så om jag hade haft (n+3) hade jag direkt gått nedåt till (n+3)*n*(n-1)(n-2)...osv eller hade jag först behövt gå (n+3)(n+2)(n+1)*n*(n-1) osv?

Det senare! 5! = 5*4*3*2*1. 7! = 7*6*5*4*3*2*1.