Mycket svår uppgift
Hej!
Om det femsiffriga talet abcde är delbart med 271, så visa att talet bcdea också är det.
Kommer bara så här långt:
abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
bcdea = 10000b + 1000c + 100d + 10e + a
Väldigt klurig uppgift för att ligga under matte 2. :)
För enkelhets skull så kallar vi det första talet (abcde) för T1 och det andra talet (bcdea) för T2.
T1 = (10^4)a + (10^3)b + (10^2)c + 10d + e
T2 = (10^4)b + (10^3)c + (10^2)d + 10e + a
Om vi multiplicerar T1 med 10 så får vi
10*T1 = (10^5)a + (10^4)b + (10^3)c + (10^2)d + 10e
T2 = (10^4)b + (10^3)c + (10^2)d + 10e + a
och dessa summor har rätt mycket gemensamma termer. Fundera gärna på hur vi kan använda det för att komma vidare! Finns det t.ex. något sätt att hitta ett enklare uttryck för T2 med hjälp av detta? Om du fastnar igen så ligger resten av lösningen i spoilern:
Visa spoiler
Om vi subtraherar T2 från 10*T1 så får vi
10*T1 - T2 = (10^5)a - a = (10^5 - 1)a = 99999a
Där ifrån ser vi att vi kan skriva om T2 på det enklare sättet T2 = 10*T1 - 99999a. Primtalsfaktoriserar vi 99999 så får vi 271*41*3*3. Eftersom både T1 och 99999 är jämnt delbara med 271 så är alltså även T2 jämnt delbart med 271.
Jag skulle ta bcd-delen och ge den ett eget namn, för de siffrorna förekommer på samma sätt i båda talen.
Tack för hjälpen.
