Mycket enkel trigintegral

Du har gjort fel på variabelsubstitutionen i det första fallet. Vill du göra substitutionen cos x = t får du göra

$$\begin{gathered} \int {\sin }^{4}x·{\cos }^{3}x dx = \int si{n}^{3}x·{\cos }^{3}x· \sin x dx \\ \left[\begin{array}{c}\cos x = t\\ dt = -\sin x dx\end{array}\right]\Rightarrow -\int (1-t^2{)}^{\frac{3}{2}}·t^3 dt \end{gathered}$$ och fortsätta därifrån (eller låta bli).

dajamanté skrev:

... som jag råkade göra fel.

För att jag tror inte jag fattade hur $dx$ används.

Men:

När vi har$\int {\sin }^{4}x·{\cos }^{3}x$, hur bestämmer vi vilket variabelsubstitution måste göras? Först har jag spjälkat:

$$\begin{gathered} \int {\sin }^{4}x·{\cos }^{3}x \iff \int {\sin }^{4}x·{\cos }^{2}x·\cos x \left[\begin{array}{c}\cos x=t\\ dt=-\sin x\end{array}\right] \\ \int (1-{\cos }^{2}x{)}^4·t^2·t =\int (\left(1-t^2\right)·t^2·t =\int t^3-t^5 =\frac{t^4}{4}-\frac{t^6}{6}+C \\ \iff \frac{{\cos }^{4}x}{4}-\frac{{\cos }^{6}x}{6}+C \end{gathered}$$

Som är fel, för att jag har inga $dt$?

Det blev rätt när jag gjorde:

$$\begin{gathered} \int {\sin }^{4}x·{\cos }^{3}x \iff \int {\sin }^{4}x·{\cos }^{2}x·\cos x \left[\begin{array}{c}\sin x=t\\ dt=\cos x\end{array}\right] \\ \int t^4·(1-t^2)·dt =\int \left(t^4-t^6\right) dt =\frac{t^5}{5}-\frac{t^7}{7}+C \\ \iff \frac{{\sin }^{5}x}{5}-\frac{{\sin }^{7}x}{7}+C \end{gathered}$$

 

Så mitt problem är, vad är $dt$? I matte 4 var det bara en inredningsgrej i integraler, som en bolla på julgrand. Men den verkar att den har fått en promotion i högre matte och spelar roll?

Och borde inte trigfunktioner vara cirkulära? Alltså varför spelar det roll överhuvud taget om jag väljer variabelbyte med sin eller cos?

 $$\begin{gathered} t=\cos \left(x\right) \\ t\text{'}=-\sin \left(x\right) \\ \frac{dt}{dx}=-\sin \left(x\right) \\ dt=-\sin \left(x\right)dx \end{gathered}$$

Du gör faktiskt ett fel till när du gör din substitution. (förutom att du glömmer dx när du skriver integralen). När du gör din substitution $t=\sin x$ . Sedan deriverar du denna till   $\frac{dt}{dx}=\cos x$ eftersom du deriverar t med avseende på x. Denna kan du skriva om som $dt = \cos x dx$. Då ersätter du cos x dx med dt i din ursprungliga integral.

Tänk kedjeregeln om detta med dy/dx. Där börjar man använda detta som ett bråk. Exempelvis $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$Sedan kan man flytta runt detta på olika sätt.

Tack för alla svar:

@Smaragdalena: jag förstår inte varför det är upphöjt till $3/2$. Om $t=cos x$, $sin^4x=(1-t^2)^2$? Vad är det jag missar?

@Affe: är $\frac{dt}{dx}$ bara en notation eller är det faktiskt något som har en mening?

@AndersW: hmmm så $\frac{dt}{dx}$= vi deriverar alla $x$ term i $t$-uttryck?

Därför att du bara har $sin^3(x)$ kvar efter du gjort substitutionen.

Eftersom $dt=-sin(x)\ dx$ tar substitutionen upp ett $sin(x)$ när du byter integrationsvariabel till $t$.

$\frac{dt}{dx}$ betyder ju derivatan av $t$ med avseende på $x$, vilket har betydelse. Det här med att man sedan börjar multiplicera $dx$ i båda led o.s.v. är inte lika matematiskt korrekt, det är mer av en minnesregel för att se vad som ska tas bort för att göra variabelbytet.

Som du såg på det Smaragdalena gjorde blir denna integral jättekrånglig om man gör substitutionen $t=cos(x)$. Om du istället prövar $t=sin(x)$ får du en mycket enklare integral (eftersom du har en ojämn exponent till $t'=cos(x)$).

AlvinB skrev:

Eftersom $dt=-sin(x)\ dx$ tar substitutionen upp ett $sin(x)$ när du byter integrationsvariabel till $t$.

 

 Lol det var en ganska stor miss.

Som du såg på det Smaragdalena gjorde blir denna integral jättekrånglig om man gör substitutionen t=cos(x). Om du istället prövar t=sin(x) får du en mycket enklare integral (eftersom du har en ojämn exponent till t'=cos(x)).

Kan du ta upp den här en gång till snälla?

Jag måste välja den som är jämn i ursprungliga uttryck?

Pröva att göra det på det ena sättet. Om det blir krångligt: pröva på det andra sättet och se om det blir enklare. Jag skulle tro att det är en mer effektiv metod än att försöka lära sig nån metod för att förutspå vilken metod som är krångligast i förväg.

Det verkar vettig. Man måste göra en antal fails innan man förstår :)

Det är ganska klokt att göra som Smaragdalena säger.

Annars finns det faktiskt en tumregel som säger att om man har en exponent som är jämn och en som är ojämn så får man en enklare integral om man väljer den jämna exponenten eftersom en av de jämna försvinner i och med substitutionen och kvarvarande jämna exponent kan förenklas med trigonometriska ettan.

dajamanté skrev:

Tack för alla svar:

@Smaragdalena: jag förstår inte varför det är upphöjt till $3/2$. Om $t=cos x$, $sin^4x=(1-t^2)^2$? Vad är det jag missar?

@Affe: är $\frac{dt}{dx}$ bara en notation eller är det faktiskt något som har en mening?

@AndersW: hmmm så $\frac{dt}{dx}$= vi deriverar alla $x$ term i $t$-uttryck?

 Det ät viktigt att förstå att t.ex. $\frac{dt}{dx}$ och $\frac{dy}{dx}$inte bara är en "notation"

Tänk dig y=f(x) och $y\text{'}=f´\left(x_0\right)$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0 \\ }{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\frac{dy}{dx} \end{gathered}$$

Fundera över skillnaden och likheten mellan $\frac{dy}{dx}$och $\frac{\Delta y}{\Delta x}$i ovanstående.

Ooooh vad glad jag är att jag frågade det. Och att du tog upp det.

Är det två olika saker?

Är det så att delta(y)/(x)är den liten förändring i y respektive x (alltså h), men dy/dx är hela funktionen??

dajamanté skrev:

Ooooh vad glad jag är att jag frågade det. Och att du tog upp det.

Är det två olika saker?

Är det så att delta(y)/(x)är den liten förändring i y respektive x (alltså h), men dy/dx är hela funktionen??

Man kan beskriva skillnaden, som att $dy$ och $dx$ är mycket mindre än $\Delta y$ och $\Delta x$.
På matematiskt "finspråk" säger man att $dy$ och $dx$ är infinitesimala.
Man kan översätta infinitesimala med "oändligt små tal, men inte noll".

 

På liknande sätt bör du fundera över skillnaden och likheten i följande:

Tänk dig y=f(x)

$$\begin{gathered} Area=\sum _{}f\left(x\right)\Delta x \\ Area=\int f\left(x\right)dx \end{gathered}$$

Ok, så det var motsatsen till vad jag trodde! När använder vi $\frac{dx}{dy}$, och när använder vi $\frac{∆x}{∆y}$?

Arean tror jag att jag har en aning:

Summan ger en grovare uppskattning (det är ju en summa av batonger), när integralen ger en finare uppskattning från beräkning med primitva funktioner?

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ger oftast en approximation (grovare uppskattning) av derivatan (kurvans lutning) jämfört med $\frac{dy}{dx}$

Vi tar något enkelt exempel:
$$\begin{gathered} y=f\left(x\right)=x^2 \\ \frac{dy}{dx}=2x \\ f\text{'}\left(x_0\right)=2x_0 \end{gathered}$$

1. Rita $f\left(x\right)=x^2$

2. Rita $f\text{'}\left(x_0\right)$ som en tangent (lutning, derivata) till kurvan i en punkt $x_0$ (inte $x_0=0$) 

3. Rita och beräkna $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ i punkten $x_0$. Då får man bara nästan samma värde som det korrekta $2x_0$

Menar du:

dajamanté skrev:

Menar du:

 Det var ju ett bra exempel, som du har ritat och räknat på!

Annars kan någon påstå att exemplet möjligen är mindre bra för att:
$f\text{'}(2.0)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=\frac{f(2.1)-f(1.9)}{0.2}=4.0$