Multiplikativ invers

Hej

kan någon hjälpa mig med följande uppgift att finna den additiva och multiplikativa inversen till följande:

a) $4 * 5 i ℤ_{23}$

b) $8 * 2 + 3 * 5 i ℤ_{33}$

Som jag tror så ska man lösa den multiplikativa inversen genom att se vilket tal man ska multiplicera den additiva inversen med för att få rest 1 vid division med i a uppgiften 23 och b uppgiften 33

Jag löst den additiva inversen för a till 23-(4*5)=3 och b uppgiften 33-(16+15)=2

Tar man då a uppgiften ska den multiplikativa inversen bli 15 men jag är inte med på hur man ska komma fram till det.

Det är evigheter sedan jag läste det här. Det kanske går att komma på någon bättre metod än att s efter vilken multipel av 23 som är ett mindre än något delbart med 20, men jag kommer inte på det i så fall. Det måste alltså vara något som slutar på 19, 39, 59, 79 eller 99. (Det räcker alltså att kolla de udda multiplarna.)

Euklides algoritm framlänges och baklänges brukar göra susen.

$23=20\cdot1+3$

$20=3\cdot6+2$

$3=2\cdot1+1$

$1=3-2=3-(20-3\cdot6)=...=7\cdot23-8\cdot20\iff1\equiv -8\cdot20$

Nu får vi naturligtvis addera vilken multipel av 23 som helst, t.ex. 23 gånger 20

$1\equiv (23-8)\cdot20=15\cdot20\iff 20^{-1}=15 \mod 23$

Svara