Multiplikation och division med polynom

Om du multiplicerar båda leden I EN EKVATION med samma tal (som inte får vara = 0) så är det fortfarande likhet. Det lärde du dig i Ma1.

Om man multiplicerar ETT UTTRYCK med någonting som inte är = 1, så ändras värdet. Det lär man sig också i Ma1.

Smaragdalena skrev :

Om du multiplicerar båda leden I EN EKVATION med samma tal (som inte får vara = 0) så är det fortfarande likhet. Det lärde du dig i Ma1.

Om man multiplicerar ETT UTTRYCK med någonting som inte är = 1, så ändras värdet. Det lär man sig också i Ma1.

Ja, det där förstår jag. Det är dock inte det jag frågade efter. Jag tror nog jag formulerat mig konstigt.

Det som står i mitt häfte är "Så vilka operationer kan vi utföra på en ekvation och fortfarande ha ekvivalens? Vi kan utföra multiplikation och division med tal; /.../ och vi kan utföra addition och subtraktion med tal och med polynom; /.../".

De ger även ett exempel på icke-ekvivalens när man dividerar med med ett polynom: "ekvationerna (x - 1)x = x och x  - 1 = 1 är inte ekvivalenta, eftersom den vänstra ekvationer har 0 och 2 som lösning, medan den högra endast har 2 som lösning. Däremot gäller det att $(x - 1)x = x \Leftarrow x - 1 = 1$." Sedan säger fortsätter de med att säga att när man delar med x i detta fall så försvinner en lösning.

Så tillbaka till min fråga; finns det någon regel eller några riktlinjer för hur implikationstecknet ska vara riktat när man dividerar och multiplicerar ekvationer med polynom? För i bilden som jag skickade ovan ser jag inte om det tillkommer en lösning eller om det försvinner en lösning. Så hur ska man tänka?

Det är väldigt svårt att förstå vad din fråga är, eftersom halva uppgiften har hamnat utanför bilden.

Alltså det är inte uppgiften jag vill ha hjälp med. Den förstår jag. Det jag vill ha hjälp med är att veta vad för pil jag ska använda mig av om jag själv skulle lösa en sådan uppgift. Ska jag skriva implikationspil åt vänster eller höger när jag multiplicerar med ett polynom?

revolten skrev :

Alltså det är inte uppgiften jag vill ha hjälp med. Den förstår jag. Det jag vill ha hjälp med är att veta vad för pil jag ska använda mig av om jag själv skulle lösa en sådan uppgift. Ska jag skriva implikationspil åt vänster eller höger när jag multiplicerar med ett polynom?

Från vänster till höger. Eller dubbelriktad pil. Det beror på hur lösningsmängden förändras.

--------------

Två ekvationer är identiska om de har exakt samma lösningsmängd.

Om du multiplicerar en ekvation med ett polynom utan att förändra lösningsmängden så ska det vara en dubbelriktad implikationspil.

Exempel 1: Den realvärda ekvationen $x=0$ multipliceras med polynomet $x^2$. Den resulterande ekvationen $x^3=0$ har samma lösningsmängd och ekvationerna är därför identiska.

Alltså gäller att: $x=0$ <=> $x^3=0$

--------

Om du multiplicerar en ekvation med ett polynom så att lösningsmängden utökas så ska det vara en pil från vänster till höger. Den gamla lösningsmängden är ju en delmängd av den nya lösningsmängden. 

Exempel 2: Den realvärda ekvationen $(x-4)=0$ multipliceras med polynomet $(x+1)$. Den resulterande ekvationen är $(x+1)(x-4)=0$.

Att $(x-4)=0$ innebär att $(x+1)(x-4)=0$, men det omvända gäller inte. 

Alltså gäller att: $(x-4)=0$ => $(x+1)(x-4)=0$, men inte tvärtom.

-------------

Var det svar på din fråga?

Yngve skrev :

revolten skrev :

Alltså det är inte uppgiften jag vill ha hjälp med. Den förstår jag. Det jag vill ha hjälp med är att veta vad för pil jag ska använda mig av om jag själv skulle lösa en sådan uppgift. Ska jag skriva implikationspil åt vänster eller höger när jag multiplicerar med ett polynom?

Från vänster till höger. Eller dubbelriktad pil. Det beror på hur lösningsmängden förändras.

--------------

Två ekvationer är identiska om de har exakt samma lösningsmängd.

Om du multiplicerar en ekvation med ett polynom utan att förändra lösningsmängden så ska det vara en dubbelriktad implikationspil.

Exempel 1: Den realvärda ekvationen $x=0$ multipliceras med polynomet $x^2$. Den resulterande ekvationen $x^3=0$ har samma lösningsmängd och ekvationerna är därför identiska.

Alltså gäller att: $x=0$ <=> $x^3=0$

--------

Om du multiplicerar en ekvation med ett polynom så att lösningsmängden utökas så ska det vara en pil från vänster till höger. Den gamla lösningsmängden är ju en delmängd av den nya lösningsmängden. 

Exempel 2: Den realvärda ekvationen $(x-4)=0$ multipliceras med polynomet $(x+1)$. Den resulterande ekvationen är $(x+1)(x-4)=0$.

Att $(x-4)=0$ innebär att $(x+1)(x-4)=0$, men det omvända gäller inte. 

Alltså gäller att: $(x-4)=0$ => $(x+1)(x-4)=0$, men inte tvärtom.

-------------

Var det svar på din fråga?

Tack för svaret! Du förstod vad jag frågade efter! :D

Jag trodde att det fanns någon regel som t.ex. att om man multiplicerar med ett polynom så utökas lösningsmängden och om man dividerar med ett polynom så minskar lösningsmängden. 

Men om man nu måste titta på varje ekvation hur lösningsmängden blir. Hur blir det i det här fallet? För jag ser inte om lösningsmängden är den samma, utökad eller minskad när man multiplicerar med x ( x + 1 )?

$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}+\frac{x(x+1)}{x(x+1)} =0$   Vilken pil ska vara här?    $x+1+x+x(x+1) =0$

Från början har du två tänkbara lösningar som inte är tillåtna, eftersom man inte kan dividera med 0. Om du multiplicerar med dessa nämnare, försvinner den informationen. Du kan alltså ha introduserat ett par falska rötter på vägen. Det innebär implikation åt höger men inte åt vänster, och alltså inte ekvivalens.