multiplikation/division av komplexa tal i polär form

En fråga lyder: "z1 = 5 - 5i och z2 = - 2 + 3i. Omvandla till polär form med 0° ≤ arg z < 360° och beräkna: z1 $\cdot$ z2".
Vid z1 ska arg z tydligen bli $- 45 ° + 2 \cdot 180 ° = 315 °$ . Jag förstår inte varför man adderar 360 grader till arg z1 och bara adderar 180 grader till arg z2? Arg z2 överstiger ju inte gradintervallet om man skulle addera 360 grader till det, så varför gör man detta bara på z1?

Så här har jag gjort för att få fram $|z|$ och arg z:
$z 1 = 5 - 5 i |z 1| = \sqrt{5^{2} + (- 5)^{2}} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} a r g (5 - 5 i) = v \tan v = - \frac{5}{5} = - 1 \Rightarrow v = a r c \tan (- 1) = - 45 ° + n \cdot 180 ° = 135 ° I p o l ä r f o r m : \sqrt{50} (\cos 135 ° + i \sin 135 °)$

$z 2 = - 2 + 3 i |z 2| = \sqrt{(- 2)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} a r g (- 2 + 3 i) = v \tan v = - \frac{3}{2} \Rightarrow v = a r c \tan (- \frac{3}{2}) \approx - 56 ° + n \cdot 180 ° = 124 ° I p o l ä r f o r m : \sqrt{13} (\cos 124 ° + i \sin 124 °)$

$z 1 \cdot z 2 = (\sqrt{50} (\cos 135 ° + i \sin 135 °)) \cdot (\sqrt{13} (\cos 124 ° + i \sin 124 °)) r 1 \cdot r 2 = \sqrt{50} \cdot \sqrt{13} \approx 25, 5 a r g z 1 + a r g z 2 = 135 ° + 124 ° = 259 ° S v a r : 25, 5 (\cos 259 ° + i \sin 259 °)$

Hej!

Uppgiften vill att argumenten ska vara positiva tal mellan 0 och 360, därför måste du uttrycka det negativa argumentet -45 som ett tal i detta intervall; rita upp det komplexa talet i det komplexa talplanet som en pil (en vektor) från punkten (0,0) till punkten (5,-5) för att bättre förstå hur -45 kan skrivas som ett positivt argument.

Jag har ritat upp vektorerna. z2 får vektorn 2-3i efter en ökning med 180 grader och z1 får vektorn -5+5i efter samma ökning, då kommer z1 att ge ett argument på 135 grader vilket ju är inom intervallet 0 grader till 360 grader? Jag tror att jag missar något.

Kan du lägga in din bild här? Jag förstår inte vad du försöker säga. Du borde få att z1 ligger i fjärde kvadranten och att z2 ligger i andra kvadranten utan att öka några grader alls. Vinkeln 135^o ligger i andra kvadranten, så det stämmer inte alls med z1.

Jag har fått att z1 är i fjärde kvadranten och z2 i är i 2:a kvadranten precis som du skriver. När jag sedan lägger till 180 grader till vardera får jag dessa vektorer (se bild).

När du beräknar arc tan för ett värde, får du alltid fram en vinkel som ligger mellan -180^o och 180^o - det är så arc tan är definierat. Om du börjar med en vinkel som ligger utanför det intervallet och först beräknar tangens för den vinkeln och därefter arc tan för detta värde, kommer du alltid att hamna i intervallet mellan -180^o och 180^o.

Eftersom du vet att arg z1 skall ligga i intervallet mellan 0^o och 360^o duger inte värdet -45^o, utan du behöver lägga till ett helt varv för att få fram ett godkänt värde.

Eftersom du vet att z2 hamnar i andra kvadranten behöver du lägga till en period, d v s 180^o till den ursprungliga vinkeln för att få rätt argument för z2.

Svara

Visa senaste svar