3 svar
130 visningar
Ryszard behöver inte mer hjälp
Ryszard 203
Postad: 30 jun 2018 14:15 Redigerad: 30 jun 2018 14:17

Multiplikation av sigma

Hej!

Min uppgift är att visa/bevisa att n+ml=k=0lnkml-k

Som ledtråd ges: (1+x)n(1+x)m=(1+x)m+n

Utvärderar vi ledtråden med binomial satsen (k=0nnkxk)*(j=0mmjxj)=(1+x)n(1+x)ml=0n+mn+mlxl=(1+x)m+n

Jag har aldrig multiplicerat sigma tecken förut, eller binomial koefficienter.

Jag tänker här ta två spår, den ena följer bokens konvention och den andra min egna

1 :I boken så nämner mr Spivak att n+ml  är  samma sak som k=0lnkml-k

Vilket jag inte är säker på hur det går ihop, förstår idén att en kommitté vald från m+n personer där vi börjar l person från grupp m och sedan tar ut en person från grupp m och lägger in en person från grupp n kommer att bilda kommittén l vald från n+m

Hur kan jag formulera detta mer definitivt och rigoröst?

 

2: om k=0nnkxk*j=0mmjxj=l=0n+mm+nlxl

Är det fel att sätta l som lägre index i högerledet, då det ska vara de övre indexet i slut produkten av vänster ledet? Vilka substitutioner är giltiga i vänster ledet, ärj=0mmm-j=j=0mmj sant?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 30 jun 2018 16:09

Hej!

Du ska välja ut ll stycken elever i en skolklass som består av nn stycken pojkar och mm stycken flickor. Antalet sätt som du kan välja dessa elever (utan återläggning och utan hänsyn till ordning) är lika med binomialkoefficienten n+ml{n+m \choose l}. Detta antal kan du få på olika sätt:

1. Bland de utvalda eleverna finns 00 stycken pojkar och ll stycken flickor. Antalet sätt som sådana val kan uppstå på är lika med n0·ml.{n \choose 0}\cdot{m \choose l}.

2. Bland de utvalda eleverna finns 11 stycken pojkar och l-1l-1 stycken flickor. Antalet sätt som sådana val kan uppstå på är lika med n1·ml-1.{n \choose 1}\cdot{m \choose l-1}.

3. Bland de utvalda eleverna finns 22 stycken pojkar och l-2l-2 stycken flickor. Antalet sätt som sådana val kan uppstå på är lika med n2·ml-2.{n \choose 2}\cdot{m \choose l-2}.

...

l+1l+1. Bland de utvalda eleverna finns ll stycken pojkar och 00 stycken flickor. Antalet sätt som sådana val kan uppstå på är lika med nl·m0.{n \choose l}\cdot{m \choose 0}.

Summan av alla dessa sätt att välja ut ll stycken elever är lika med n+ml{n+m \choose l}, det vill säga

    n+ml=k=0lnk·ml-k\displaystyle {n+m \choose l} = \sum_{k=0}^{l}{n \choose k}\cdot{m \choose l-k}.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 30 jun 2018 16:17 Redigerad: 30 jun 2018 16:25

(1+x)n·(1+x)m=k=0nnkxk·j=0mmjxj=k=0nj=0mnkmjxk+j.\displaystyle(1+x)^{n}\cdot(1+x)^{m} = \left(\sum_{k=0}^{n}{n\choose k} x^{k}\right)\cdot\left(\sum_{j=0}^{m}{m\choose j}x^{j}\right)=\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}{n\choose k}{m\choose j}x^{k+j}.

Skriv k+j=lk+j=l och notera att ll kan anta värden 0,1,...,n+m0,1,...,n+m. Då kan du skriva j=l-kj=l-k och

    k=0nl-k=0mnkml-kxl=k=0nl=km-knkml-kxl.\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sum_{l-k=0}^{m}{n\choose k}{m\choose l-k}x^{l}=\sum_{k=0}^{n}\sum_{l=k}^{m-k}{n\choose k}{m\choose l-k}x^{l}.

Ryszard 203
Postad: 30 jun 2018 19:51 Redigerad: 30 jun 2018 19:53

Tack!, 

Du har definitivt förklarat bra!

I den andra likheten på ditt senaste svar så har du bytt ut j mot l-k, men varför har vi bytt det övre indexet m för m-k?. Om jag tolkar l=km-kk=0nnkml-kxl rätt så säger den att k börjar på noll och går till n, men den säger också att l=k(men m och k är väl olika?) och att m-k=m-1, m-2...m-n, där n då är den vänstra sigmas övre gräns , som du märker har jag ingen ide

alltså varför m-k och inte m? går k från noll till n? går l från noll till m+n?

Svara
Close