multiplicering

Produktregeln baklänges.

B.N. skrev :

Hej

jag har ett problem med att ta mig vidare då jag har $y\text{'}*\frac{1}{x}+y*\left(-\frac{1}{x^2}\right)$  som man ska få till ${\left(y*\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}$

men jag förstår inte hur man ska göra för att ta sig dit.

Förstår du att likheten gäller?
Det är produktregeln baklänges.

jag hade från början $y\text{'}-y\left(\frac{1}{x}\right)$ som man skulle multiplicera med 1/x

Multiplicera med 1/x? Varför? Kan du skriva av ursprungsuppgiften?

vi får ju först $\frac{y^{\text{'}}}{x}-\frac{y}{x^2}$ men hur ska man ta sig vidare?

hela uppgiften är

Bestäm y(x) så att $y\text{'}-\frac{y}{x}=\frac{1}{x+1}$ med x>0

Jag får då den integrerade faktorn F(x)=-lnx och härleder då $e^{F\left(x\right)}=e^{-\ln x}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}$

Då ska enligt facit nästa steg bli att multiplicera båda led i ursprungsekvationen med 1/x och få

$y\text{'}\times \frac{1}{x}+y\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ 

som sedan i nästa steg ska bli ${\left(y\times \frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}$

och det är det sista steget som jag inte har förstått riktigt

jag har fortfarande inte riktigt begripit hur den andra termen försvinner. 

Produktregeln baklänges blir väl $\int f*gdx=F*g-\int F*g\text{'}dx$

men hur ska man välja vilken term som vi ska derivera och vilken som man ska integrera?

B.N. skrev :

jag har fortfarande inte riktigt begripit hur den andra termen försvinner. 

Produktregeln baklänges blir väl $\int f*gdx=F*g-\int F*g\text{'}dx$

men hur ska man välja vilken term som vi ska derivera och vilken som man ska integrera?

Produktregeln: $(fg)'=f'g+fg'$.

Om $f=y$ och $g=\frac{1}{x}$ så är $f'=y'$ och $g'=-\frac{1}{x^2}$.

Alltså är $(y\frac{1}{x})'=y'\frac{1}{x}+y\cdot (-\frac{1}{x^2})$.

okej då är jag med på det, men tillslut ska svaret bli $y=x\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(x+1\right)+c\right)$ men var kommer x:et framför parentesen ifrån?

jag partialbråksuppdelade och fick $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\ln x-\ln \left|x+1\right|+c$

Hej!

Du har beräknat att 

    $\frac{y}{x} = \ln\frac{x}{|x+1|} + c.$

Albiki