Motsägelsebevis

Antalet primtal är oändligt många.

Bevisidé: Utgå ifrån att satsen är falsk och visa att det ger en motsägelse.

Bevis: Anta att antalet primtal är ändligt många: p1, p2, … , pn

Bilda talet N=p1⋅p2⋅ . . . ⋅pn+1

Dividerar vi N med p1 ger det

p1⋅p2⋅p3⋅...⋅pn+1/p1=p2⋅p3⋅...⋅pn+1/p1

vilket inte är ett heltal!

På samma sätt kan vi se att inget av våra primtal är delare till N. Om talet N inte är delbart med något primtal så måste N vara ett primtal eller så finns det ett primtal som inte är med bland de uppräknade. Detta ger en motsägelse mot att p1,p2, . . . , pn är alla primtal. Vårt antagande är felaktigt, antalet primtal är oändligt många.

Detta är en exempel uppgift kring Motsägelsebevis och förstår inte flera saker. Det första jag inte förstår är varifrån +1 kommer ifrån på den fjärde raden. Vidare förstår jag inte vad som sker när de dividerar med p1, hur bevisar det att det finns oändligt antal primtal? Varför blir det i slutet 1/p1?

Vilken fjärde rad?

Vi bildar talet $N=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot ...\cdot p_n+1$ .

Kvoten $\frac{N}{p_1}$ blir då $\frac{p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot ...\cdot p_n+1}{p_1}=p_2\cdot p_3\cdot ... \cdot p_n+\frac{1}{p_1}$ , som inte är ett heltal.

På samma sätt är kvoten $\frac{N}{p_2}=\frac{p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot ...\cdot p_n+1}{p_2}=p_1\cdot p_3\cdot ... \cdot p_n+\frac{1}{p_2}$ , som inte heller är ett heltal.

Vi kan fortsätta ändå upp till $\frac{N}{p_n}$ och vi ser att ingen av dessa kvoter är ett heltal.

Hej F. K.

Du utgår från att du har den kompletta listan av primtal $p_1$ , $p_2$ , ... samt $p_n.$ (Det finns inga andra primtal.)

Sedan multiplicerar du ihop dessa och får produkten $p_1\cdot p_2\cdot \cdots \cdot p_n.$
Därefter adderar du talet $1$ till denna produkt och får summan

$T = 1+p_1\cdot p_2\cdot \cdots \cdot p_n.$

Det finns två möjligheter för talet $T$ :

Talet $T$ är ett primtal.
Talet $T$ är inte ett primtal.

Om talet $T$ är ett primtal så ska det vara lika med ett av primtalen i din kompletta lista av primtal. Men $T$ är ju större än alla primtal i din lista, så detta scenario är omöjligt.
Om talet $T$ inte är ett primtal så är det ett sammansatt tal och då ska det gå att dividera T med något av talen i din kompletta lista av primtal. Detta är inte fallet eftersom du alltid får resten 1 när du försöker dividera T med något av primtalen; detta scenario är tydligen också omöjligt.

Du ser att både Fall 1 och Fall 2 leder till omöjliga scenarion. Detta betyder att din utgångspunkt var fel: Det finns ingen komplett lista av primtal.

Varför adderar man med ett?

Fotbollskillen12 skrev:
Varför adderar man med ett?

För att få ett tal som definitivt inte är delbart med något av primtalen i listan - vad man än delar med så får man resten 1, d v s det går inte jämnt ut.

Att man väljer just ett är det är enkelt. Tanken är skapa ett tal N vars faktorer är alla primtal i listan plus en faktor som inte är jämt delbar med något av de andra primtalen.

Fast hur kan man göra det, jag förstår inte riktigt och om man adderar med 1 på HL ska man inte också göra det på VL

Man väljer att skapa ett tal som är uppbyggt på ett speciellt sätt. Det är ingen ekvation, därför finns det inget högerled eller vänsterled. Man hittar på ett tal som är produkten av ALLA primtal som finns, och så adderar man 1 för att få ett tal som inte är delbart med något primtal. Antingen är detta tal ett primtal, eller så är det delbart med något primtal som inte fanns med på listan. Båda fallen motsäger förutsättningarna - att man kan göra en lista över alla primtal.

Svara

Visa senaste svar