Motsägelsebevis

$V i s a a t t \sqrt{2} \notin ℚ B e v i s : A n t a g a t t \sqrt{2} \in ℚ d v s \sqrt{2} = \frac{p}{q} d ä r p, q \in ℤ m e d p \neq 0, q \neq 0, o c h a n t a g a t t \frac{p}{q} ä r p å e n k l a s t b r å k f o r m . D v s p o c h q h a r i n g a g e m e n s a m a f a k t o r e r . \sqrt{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow 2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \Rightarrow 2 q^{2} = p^{2} \Rightarrow p^{2} j ä m n \Rightarrow p j ä m n \Rightarrow p = 2 k, k \in ℤ \Rightarrow 2 q^{2} = {(2 k)}^{2} \Rightarrow 4 k^{2} \Rightarrow q^{2} = 2 k^{2} \Rightarrow q^{2} j ä m n \Rightarrow q j ä m n \Rightarrow q = 2 m, m \in ℤ S a m m a n t a g e t : \sqrt{2} = \frac{p}{q} = \frac{2 k}{2 m} (e j p å e n k l a s t e b r å k f o r m) A l l t s å, \sqrt{2} \notin ℚ v i l k e t s k u l l e v i s a s .$

Hur vet man att p^2 är jämnt ? Är det på grund av p^2 = 2q^2 ??

Ja.

Kort: Ja. Implikationen löper är

Hjälpsats 1: Om $p^2$ är jämt så måste $p$ vara jämt

Långt:

Om vi dock ska vara ärliga så är detta knappast uppenbart som en allmän regel. Tänker man på några exempel en stund så känns det vettigt, men exempel är ju inte bevis. Så egentligen behöver man göra ett så kallat hjälpbevis och även bevisa detta om beviset ska ha alla steg ifyllda.

Bevis (genom motsägelse)

Låt säga att $p$ är ett positivt heltal och att $p^2$ är jämt. Låt oss anta att $p$ inte är jämt och visa att det leder till motsägelse. Om $p$ inte är jämt så är det udda och det finns ett tal k sådant att $p = 2k + 1$ . Då är $p^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 2k + 1 = 2(k^2 + k) + 1$ men det betyder att $p^2$ skulle vara udda. Därmed stämmer inte antagandet att $p$ är jämt och därmed måste $p$ vara udda.

Kortversionen av detta är: Om $p^2$ är jämt så måste $p$ vara jämt eftersom utifall $p$ var udda så skulle $p^2$ vara udda så udda*udda är udda.

Ett heltal gånger 2 brukar vara jämnt.

Om jämna - ojämna kvadrater: p*p har samma faktorer som p bara i dubbel upplaga, dvs antingen finns det ingen faktor 2 i någondera eller i båda.

Svara

Visa senaste svar