Motivera varför lim n ---> oändligheten (1+x/n)^n = e^x (Matematik/Matte 3/Naturliga logaritmer)

Låt 1/x=n så får vi $(1+\dfrac{1}{n})^n \rightarrow e$ då $n\rightarrow \infty$ .

Kommer du vidare?

Dracaena skrev:
Låt 1/x=n så får vi $(1+\dfrac{1}{n})^n \rightarrow e$ då $n\rightarrow \infty$ .

Kommer du vidare?

jo jag förstår omskrivningen men jag fattar inte riktigt hur vi vet att den närmar sig e då n går mot oändligheten? Vi har bara skrivit om första "uttrycket" och det går mot e när x närmar sig 0.

Precis, vi har bara skrivit om den lite, så att den konvergerar mot e fortfarande eftersom vi inte ändrat något.

Men du märker nu att det du ska bevisa är otroligt likt det vi redan vet.

Dracaena skrev:
Precis, vi har bara skrivit om den lite, så att den konvergerar mot e fortfarande eftersom vi inte ändrat något.

Men du märker nu att det du ska bevisa är otroligt likt det vi redan vet.

Jag vet inte riktigt om jag hänger med, det här med gränsvärden är otroligt förvirrande och jag förstår inte riktigt vad de syftar på. Det enda jag kan se är att vi har upphöjt e med x betyder då att vi ska göra så $({(1 + \frac{1}{n})}^{n})^{x} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n x} = {(1 + \frac{1}{n})}^{\frac{1}{x} \times x} = (1 + \frac{1}{n})$

och jag fattar inte vad det innebär eller om det är rätt

Nja, inte direkt.

Vi visste ju från början att (1+x)^(1/x) gick mot e när x gick mot 0. Utan att ändra på något så valde vi att kalla 1/x för n. Men om n=1/x och x går mot 0 exploderar n mot oändligheten. Är du med så långt?

Nu vet vi att (1+1/n)^n går mot e när n går mot oändligheten. Men det intressanta nu är ju vad som händer nu om du upphöjer allt med x och sedan låter u=nx, ser du att vi då får ut att det andra gränsvärdet konvergerar mot e^x?

Notera:

Jag förstår att detta är väldigt förvirrande, känns överkurs att ha detta i matte 3. Detta är ett typiskt problem i endimensionell analys när man precis börjar prata gränsvärden och dylikt.

Kanske finns en annan matte 3 metod? Detta är den enklaste metoden jag kan komma på men förstår att det inte är så lätt att hänga med.

Dracaena skrev:
Nja, inte direkt.

Vi visste ju från början att (1+x)^(1/x) gick mot e när x gick mot 0. Utan att ändra på något så valde vi att kalla 1/x för n. Men om n=1/x och x går mot 0 exploderar n mot oändligheten. Är du med så långt?

Det är nog där jag fastnar, jag kan inte se hur 0 det går mot oändligheten. n = 1/x om x går mot 0 dvs om den växer hela tiden då går 1/x mot 0????

Jag testade att upphöja allt med x? Varför blev det inte rätt?

för att x går mot 0 och n går mot oändligheten, du försöker blanda vilket blir knasigt.

$1/x=n$ , vi vet redan att x går mot 0, kom ihåg att vi kommer komma oändligt nära 0 så att $n=1/0.0000000000000001$ och du kan lägga till nollor så länge du orkar, du märker då ganska snabbt att detta går mot oändligheten. Det är ju därför n går mot oändligheten när vi utför variabelsub.

Dracaena skrev:
för att x går mot 0 och n går mot oändligheten, du försöker blanda vilket blir knasigt.

$1/x=n$ , vi vet redan att x går mot 0, kom ihåg att vi kommer komma oändligt nära 0 så att $n=1/0.0000000000000001$ och du kan lägga till nollor så länge du orkar, du märker då ganska snabbt att detta går mot oändligheten. Det är ju därför n går mot oändligheten när vi utför variabelsub.

Ja nu är jag med du skrev att jag ska skriva om uttrycket så här ${(1 + \frac{1}{n})}^{u} d å u = n x$

(jag hänger inte riktigt med i omskrivningen här dvs varför gör vi som vi gör och vad kan vi dra för slutsats?)

Om vi kollar på den första, nämligen att (1+x)^[1/x] går mot e om x går mot 0 så hjälper det oss inte så mycket just nu för att motivera det andra gränsvärdet som konvergerar mot e^x. Det vi gör då är att försöka manipulera om gräsvärdet. Utan att ändra på något, kan vi få det att likna gränsvärdet vi skall bevisa? Svaret är ja, om vi låter $n=1/x$ . Vi gör detta som sagt för att det nu liknar det andra gränsvärdet väldigt mycket.

Om vi nu upphöjer allt med x och låter $u=nx$ så kommer vi se att vi får samma gränsvärde som vi skall motivera, och det är nu enkelt att visa att den konvergerar mot e^x med kunskapen av vad det första gränsvärdet konvergerar mot.

Notera att vi inte har ändrat på någonting, vi har bara skrivit om det på ett sätt som gör det enklare för oss att tolka resultatet.

Om vi exempelvis ska lösa $x^4+x^2-3=0$ så kan vi ju låta $u=x^2$ och sedan har vi en andragradare, det är samma princip. Vi har inte ändrat något utan vi har bara gjort en variabelsub för att underlätta det vi försöker beräkna.

Jag förstår vad vi håller på med men jag kan inte riktigt se hur de konvergerar dvs hur omskrivningen faktiskt hjälper oss.

Vi har givet att $(1): (1+x)^{1/x} \rightarrow e$ då $x \rightarrow 0$ , eller hur?

mha denna informationen skall vi visa att $(2): (1+\dfrac{x}{n})^n$ går mot $e^x$ när $x \rightarrow \infty$

Så som (1) är skrivet kan vi inte riktigt använda den ännu för att hjälpa oss motivera att (2) går mot $e^x$ så vårt första mål är att renovera om (1) så att det blir användbart. Ett alternativ är variabelsubben jag föreslog från början, nämligen $\dfrac{1}{x}=n$ , hur visste jag att jag skulle välja just detta? Man lär sig av att jobba med gräsvärden vad som möjligtvis kan vara en bra sub. OK, efter att ha utfört den subben så ser vi att om x tenderar mot 0 kommer n att explodera mot $\infty$ så att när vi nu byter ut allt mot $n$ så går vi ju inte längre mot 0, n tenderar ju mot $\infty$ .

Vi har då helt plötsligt att (1) blir $(1+\dfrac{1}{n})^n$ och återigen vi har inte ändrat något utan bara kastat om lite i lådan så att det ser "prydligare ut".

Kolla nu på (1) och (2), varför tror du detta var användbart? Jo, det är ju i princip samma sak. Nu kollar vi på (1) och funderar, hur kan vi nu göra det prydligt i lådan igen så att det inte bara liknar (2) denna gången, utan att vi har (2).

Jo, det som skiljer är att den andra har konvergerat mot $e^x$ men (1) går ju bara mot $e$ , skillnaden ligger i att vi har en faktor $x$ i exponenten, så låt oss då smälla till den på (1) och nu låta $u=nx$ , och helt plötsligt får vi direkt som följ (2) genom (1), och då har vi visat att (2) gäller antag att (1) gäller.

Hur vet vi att (1) gäller och att (2) gäller från första början? Det är givet i frågan. Du kan övertala dig själv att det faktiskt är så genom att prova stoppa in små värden i (1) och kolla att det går mot $e$ och sedan leka runt med (2) och stoppa in stora tal och se att den tenderar mot $e^x$ .

Dracaena skrev:
Hur vet vi att (1) gäller och att (2) gäller från första början? Det är givet i frågan. Du kan övertala dig själv att det faktiskt är så genom att prova stoppa in små värden i (1) och kolla att det går mot $e$ och sedan leka runt med (2) och stoppa in stora tal och se att den tenderar mot $e^x$ .

Det var här jag fastande, när jag försökte gå tillbaka blev det skumt

${(1 + \frac{1}{n})}^{\frac{1}{x} \times x} (1 + \frac{1}{n})$