Motivera varför funktionen i R^3 antar globalt min

Har du skrivit av facit rätt? Det verkar vara ett "inte" för mycket.

Smaragdalena skrev:

Har du skrivit av facit rätt? Det verkar vara ett "inte" för mycket.

Då tycker jag att det ser ut som om din bok har fått med ett "/", d v s ett "inte"  för mycket.

Om en punkt tillhör M men inte K så vet man att funktionsvärdet i denna punkt är större än 4.

Det jag tror de vill ha sagt är att om ett område är kompakt, alltså har ändliga gränser, så måste ett minsta värde finnas. Brukar finnas en sats om det i boken. Så de klipper bort delar av hela området där de visat att värdet är större, och då blir det kvar ett kompakt område där minsta värde finns.

Smaragdalena skrev:

Då tycker jag att det ser ut som om din bok har fått med ett "/", d v s ett "inte"  för mycket.

Om en punkt tillhör M men inte K så vet man att funktionsvärdet i denna punkt är större än 4.

Okej så det som sägs är är g(x,y,z) = x+y+z är större än 4 då x+y+z > 4 (helt uppenbart).  Och eftersom skärningen mellan planet x+y+z $\le$4 och bivillkoret xy+yz+zx=3, x,y,z $\ge$0

är kompakt så måste minimum antas  där? 

Micimacko skrev:

Det jag tror de vill ha sagt är att om ett område är kompakt, alltså har ändliga gränser, så måste ett minsta värde finnas. Brukar finnas en sats om det i boken. Så de klipper bort delar av hela området där de visat att värdet är större, och då blir det kvar ett kompakt område där minsta värde finns.

Hur kan jag avgöra att området K är kompakt? Jag vet att x+y+z = 4 är ekvationen av ett plan. Och xy+yz+zx=3, x,y,z $\ge 0$

ser ut, när jag använder ett verktyg för att skissera den, som en hyperboloid

Micimacko skrev:

Det jag tror de vill ha sagt är att om ett område är kompakt, alltså har ändliga gränser, så måste ett minsta värde finnas. Brukar finnas en sats om det i boken. Så de klipper bort delar av hela området där de visat att värdet är större, och då blir det kvar ett kompakt område där minsta värde finns.

Ett ändligt område behöver inte vara kompakt. 

Tänk på att det som kallas bivillkor är ditt ursprungliga område. Sen klippte du av det med planet och fick ett nytt, mindre område. Det nya området är hela det ursprungliga som ligger ”innanför” planet, men det behöver inte ligga på planet. Eftersom det är kompakt finns ett min, men vi vet inte var. Det skulle lika gärna kunna ligga vid origo.

Micimacko skrev:

Tänk på att det som kallas bivillkor är ditt ursprungliga område. Sen klippte du av det med planet och fick ett nytt, mindre område. Det nya området är hela det ursprungliga som ligger ”innanför” planet, men det behöver inte ligga på planet. Eftersom det är kompakt finns ett min, men vi vet inte var. Det skulle lika gärna kunna ligga vid origo.

Kan det inte vara så att ett ursprungligt området inte är kompakt även om man klipper av det med ett plan och kollar på det som ligger innanför planet? Eller det kanske blir automatiskt kompakt i och med att kordinataxlarna är positiva? dvs, x,y,z $\ge 0$

Hej!

Definitionsmängden $M$ kan skrivas som unionen av två disjunkta mängder: 

    $M = K \cup (M\setminus K).$

• Det gäller att punkten $(1,1,1)$ ligger i mängden $K$ och i denna punkt är funktionsvärdet $g(1,1,1) = 3.$
• För punkter som ligger i mängden $M\setminus K$ är funktionsvärdet alltid större än talet $4$.

Om funktionen $g$ överhuvudtaget har ett minsta värde så måste det antas i en punkt som ligger i mängden $K$; kanske är talet $3$ funktionens minsta värde över mängden $K$ och $(1,1,1)$ en minimipunkt, kanske inte. Det behöver undersökas.

Albiki skrev:

Hej!

Definitionsmängden $M$ kan skrivas som unionen av två disjunkta mängder: 

    $M = K \cup (M\setminus K).$

• Det gäller att punkten $(1,1,1)$ ligger i mängden $K$ och i denna punkt är funktionsvärdet $g(1,1,1) = 3.$
• För punkter som ligger i mängden $M\setminus K$ är funktionsvärdet alltid större än talet $4$.

Om funktionen $g$ överhuvudtaget har ett minsta värde så måste det antas i en punkt som ligger i mängden $K$; kanske är talet $3$ funktionens minsta värde över mängden $K$ och $(1,1,1)$ en minimipunkt, kanske inte. Det behöver undersökas.

Okej tack :) Jag undrade bara lite varför man ser att K är kompakt. Men det kanske har med att området x,y,z >=0 , x+y+z =< 4 utgör ett kompakt område? 

Jag undrade bara lite varför man ser att K är kompakt.

Vad krävs för att ett område skall vara kompakt? Uppfyller området K dessa kriterier?

Smaragdalena skrev:

Jag undrade bara lite varför man ser att K är kompakt.

Vad krävs för att ett område skall vara kompakt? Uppfyller området K dessa kriterier?

Begränsat och slutet. Och jag tänker att det är det  i K eftersom  $0\le x\le 4$

Och samma för y och z?

Ja, eftersom K är både slutet och begränsat, så är K kompakt.