Mönster triangel

n     antal trianglar     skillnad
1             1                            1
2           3                            2
3           6                           3
4         10                            4

Med en triangel menar jag vad som bildas av tre stickor,
inte de triangelformade utrymmena mellan dessa trianglar.
När en funktion uppvisar en konstant ökning av skillnaderna är den av andra graden.
Du kan anta att den är f(n) = a*n² + b*n + c, där c bör vara noll (0 trianglar för n=0)
och finna a och b genom att sätta in värdena från tabellen.

Du kan också med ett knep få fram svaret ur figuren.
Dubblera och vrid så ser du att du har n*(n+1) trianglar.
I figuren, där n=3, har du 3 rader med 4 trianglar i varje.
Dela med 2 och multiplicera med 3 för att att få antalet stickor i figur n.

-

Louis skrev:

n     antal trianglar     skillnad
1             1                            1
2           3                            2
3           6                           3
4         10                            4

När en funktion uppvisar en konstant ökning av skillnaderna är den av andra graden.
Du kan anta att den är f(n) = a*n² + b*n + c, där c bör vara noll (0 trianglar för n=0)
och finna a och b genom att sätta in värdena från tabellen.

Du kan också med ett knep få fram svaret ur figuren.
Dubblera och vrid så ser du att du har n*(n+1) trianglar, i figuren 3 rader med 4 trianglar i varje.
Dela med 2 och multiplicera med 3 för att att få antalet stickor i figur n.

Uppskattar hjälpen, men Saknar fortfarande förståelsen, kan du ge en annan förklaring som är lättare att förstå? Tack så mycket!

denna delen gör mig lite snurrig 

”Du kan anta att den är f(n) = a*n2 + b*n + c, där c bör vara noll (0 trianglar för n=0)”

Skillnaderna mellan antalet trianglar i två på varandra följande figurer är
som tabellen visar 1, 2, 3, 4 osv.
Det kan du också avläsa i figuren. Röd "diagonal": 2 nya trianglar, blå "diagonal" 3 nya trianglar.
Hela tiden byggs det på med nya trianglar, en mer än vid föregående påbyggnad.
En sådan ökning visar att man har en andragradsfunktion, som allmänt kan skrivas f(n) = a*n² + b*n + c.
Jag vet inte hur man enklast motiverar det, här får andra gärna hjälpa till.
Ta den enklaste andragradaren y = x².  Ökar du x med 1 blir skillnaden i y-värde (x+1)² - x² = 2x + 1.
För x = 1, 2, 3, 4 blir skillnaderna 3, 5, 7 osv. Skillnaderna ökar konstant (med 2).
Om du kan gå med på att antalet trianglar är a*n² + b*n + c får vi
n=0,   c=0
n=1,    a+b=1
n=2,   4a+2b=3
Detta räcker för att beräkna a och b.

Var du med på den andra geometriska och enklare lösningen?
Den är tillräcklig, så du behöver inte bry dig om den första varianten om du inte vill.

Louis skrev:

Skillnaderna mellan antalet trianglar i två på varandra följande figurer är
som tabellen visar 1, 2, 3, 4 osv.
Det kan du också avläsa i figuren. Röd "diagonal": 2 nya trianglar, blå "diagonal" 3 nya trianglar.
Hela tiden byggs det på med nya trianglar, en mer än vid föregående påbyggnad.
En sådan ökning visar att man har en andragradsfunktion, som allmänt kan skrivas f(n) = a*n² + b*n + c.
Jag vet inte hur man enklast motiverar det, här får andra gärna hjälpa till.
Ta den enklaste andragradaren y = x².  Ökar du x med 1 blir skillnaden i y-värde (x+1)² - x² = 2x + 1.
För x = 1, 2, 3, 4 blir skillnaderna 3, 5, 7 osv. Skillnaderna ökar konstant (med 2).
Om du kan gå med på att antalet trianglar är a*n² + b*n + c får vi
n=0,   c=0
n=1,    a+b=1
n=2,   4a+2b=3
Detta räcker för att beräkna a och b.

Var du med på den andra geometriska och enklare lösningen?
Den är tillräcklig, så du behöver inte bry dig om den första varianten om du inte vill.

va ska jag göra nu??

b=0,5 eller 1/2 är rätt, men det insatt i a+b=1 ger samma värde till a.

Antalet trianglar i figur nummer n: n²/2 + n/2 = (n² + n)/2 

Bryt ut n och multiplicera med 3 (3 stickor per triangel) så får du facits svar.

Men jag vill upprepa att den andra lösningen där man mixtrar med figuren är enklare.
Förutom att det ger en tolkning och förståelse av formelns 3, n, (n+1) och 2.

Louis skrev:

b=0,5 eller 1/2 är rätt, men det insatt i a+b=1 ger samma värde till a.

Antalet trianglar i figur nummer n: n²/2 + n/2 = (n² + n)/2 

Bryt ut n och multiplicera med 3 (3 stickor per triangel) så får du facits svar.

Men jag vill upprepa att den andra lösningen där man mixtrar med figuren är enklare.
Förutom att det ger en tolkning och förståelse av formelns 3, n, (n+1) och 2.

Jag fattar denna delen

men inte denna delen

hur gick a+b=1 till ”4”a+”2”b=”3”

För n=2:  a*2² + b*2 = 4a + 2b
Och för n=2 kan du se i figuren att du har 3 trianglar (en brun och två röda).

Louis skrev:

För n=2:  a*2² + b*2 = 4a + 2b
Och för n=2 kan du se i figuren att du har 3 trianglar (en brun och två röda).

tack så hemskt mycket men en sista grej

denna funktion hade ett konstant ökning av skillnaderna 

Har alla funktioner som liknar denna samma formel

F(n)=a*n2+b*n+c

Ja, de är andragradsfunktioner och sådana kan skrivas på den allmänna formen,
där man sedan får bestämma koefficienterna a, b och c och till slut bestämma
på vilken form man vill svara (i den här uppgiften att bryta ut n).

I sådana här mönsteruppgifter, där antalet stickor eller punkter växer i sidled och i höjdled,
blir formeln naturligt nog en andragradsfunktion, eftersom bredd*höjd är inblandat (på ett eller annat sätt).
Vilken den manipulerade figuren visade: n+1 trianglar i bredd, n rader på höjden, dela med 2 eftersom figuren är fördubblad, multiplicera med 3 för antalet stickor per triangel.

Louis skrev:

Ja, de är andragradsfunktioner och sådana kan skrivas på den allmänna formen,
där man sedan får bestämma koefficienterna a, b och c och till slut bestämma
på vilken form man vill svara (i den här uppgiften att bryta ut n).

I sådana här mönsteruppgifter, där antalet stickor eller punkter växer i sidled och i höjdled,
blir formeln naturligt nog en andragradsfunktion, eftersom bredd*höjd är inblandat (på ett eller annat sätt).
Vilken den manipulerade figuren visade.

Ja men det verkar som att formeln inte går på denna

menar cirklarna 

svar:

Man kan utgå från a*n²+b*n+c.

Vad a, b och c blir är olika för olika slags mönster.
För cirklarna får du först c=1 från den första figuren: n=1, antal cirklar 0.

Försök att även här finna ett sätt att härleda formeln direkt ur figurerna.

Observera att antalet kryss inte är en andragradsfunktion.
Ökningen är här konstant 2 kryss från figur till figur.