Mönster

Ka  du ta roten ur? 

Roten ur vad?

Så här står det i facit

Kan du lägga upp en bild av ursprungsuppgiften, så att vi vet hur de olika figurerna ser ur!

Hur kan man lösa den utan att kolla på de svarta kvadraterna, utifrån värdetabellen? Jag vet hur man ska tänka när jag ser figurerna men jag kan inte lösa uppgiften utan bilden

Varför vill du krångla till allting för dig alldeles i onödan? Meningen med den här uppgiften är att du skall lära dig att generalisera mönster med utgångspunkt från bilderna. Om man bara har siffrorna utan bilderna, finns det många olika sätt att generalisera, och chansen att man "generaliserar rätt" är nästan 0. Det är oerhört dumt att kasta bort en massa värdefull information på det sättet du gör!

Du frågar vad du ska roten ur. Mitt tips var extremt kortfattat, men vad finns det att ta roten ur? Det enda är dina tal:

0
4
16

Smaragdalena skrev:

Varför vill du krångla till allting för dig alldeles i onödan? Meningen med den här uppgiften är att du skall lära dig att generalisera mönster med utgångspunkt från bilderna. Om man bara har siffrorna utan bilderna, finns det många olika sätt att generalisera, och chansen att man "generaliserar rätt" är nästan 0. Det är oerhört dumt att kasta bort en massa värdefull information på det sättet du gör!

 Det är inte alla uppgifter som har en bild, ibland är det bara ett ”aritmetisk talföljd” eller ett triangel tal..osv . Anledningen till varför jag frågan är att jag vill lära mig se ett mönster/sambandet utan att behöva rita ut det (ibland är det omöjligt att rita på det sättet som uppgiften vill att mönstret ska se ut).  

Kan man alltså inte lösa en sån uppgift om man inte har bilden på mönstren med?

Inte de här uppgifterna.

Om man vet att följden bygger på ett polynom och vet dess maximala grad kan man ta differenserna, och differensernas differenser, osv. till de inte varierar längre (man behöver fler tal än graden i polynomet). Sedan kan man på ett generellt sätt få fram polynomet. Så då säger jag motsatsen till Smaragdalena: man behöver inte bilderna (men hon är pedagog, och det är inte jag, så hon kanske har rätt i alla fall). Men när bilderna nu finns där så kan man göra på det sätt som de har tänkt, vilket är enklare, och använda de geometriska knep som är inbyggda i bilderna (och delvis är det nog tänkt att man ska öva på geometriska samband och föreställningsförmåga också, inte bara algebra).

Laguna skrev:

Om man vet att följden bygger på ett polynom och vet dess maximala grad kan man ta differenserna, och differensernas differenser, osv. till de inte varierar längre (man behöver fler tal än graden i polynomet). Sedan kan man på ett generellt sätt få fram polynomet. Så då säger jag motsatsen till Smaragdalena: man behöver inte bilderna (men hon är pedagog, och det är inte jag, så hon kanske har rätt i alla fall). Men när bilderna nu finns där så kan man göra på det sätt som de har tänkt, vilket är enklare, och använda de geometriska knep som är inbyggda i bilderna (och delvis är det nog tänkt att man ska öva på geometriska samband och föreställningsförmåga också, inte bara algebra).

 Jag tror också att man utifrån tal kan lista ut en formel/samband. 

Vad menar du med  ”om man vet att följden bygger på ett polynom” , vad är ett polynom? 

Tack för hjälpen och er tålamod :) !!

Om jag förklara hur jag tänker kanske  kan jag förtydliga vad jag menar. 

Så här löser jag halva uppgiften som jag inte kommer vidare med : 

1) jag skriver upp siffrorna för antalet vita (det är bara vita jag inte kan lösa) 

1 : 0

2 : 4 

3 : 16 

4 : 36. 

16-4=12 

36-16=20 

20-12=8 , dvs.  Ökningen är linjär. Redan här kan jag konstatera att det ska vara kvadratisk , men vidare kommer jag inte. Vad är andra steget? Hur kan man veta vad som ska stå framför n? Om det tex ska vara 2n eller 3n eller bara n

Renny19900 skrev:

Laguna skrev:

Om man vet att följden bygger på ett polynom och vet dess maximala grad kan man ta differenserna, och differensernas differenser, osv. till de inte varierar längre (man behöver fler tal än graden i polynomet). Sedan kan man på ett generellt sätt få fram polynomet. Så då säger jag motsatsen till Smaragdalena: man behöver inte bilderna (men hon är pedagog, och det är inte jag, så hon kanske har rätt i alla fall). Men när bilderna nu finns där så kan man göra på det sätt som de har tänkt, vilket är enklare, och använda de geometriska knep som är inbyggda i bilderna (och delvis är det nog tänkt att man ska öva på geometriska samband och föreställningsförmåga också, inte bara algebra).

 Jag tror också att man utifrån tal kan lista ut en formel/samband. 

Vad menar du med  ”om man vet att följden bygger på ett polynom” , vad är ett polynom? 

Tack för hjälpen och er tålamod :) !!

Polynom kommer tydligen i Matte 2 som allmänt begrepp. Alla de här funktionerna n, n^2, n(n+1) som vi har hållit på med är polynom. Så jag kunde ha skrivit "uttryck med n och kanske n^2 i".

Jaha ok, men hur kan jag komma vidare med min lösning som jag skrev ovan? Men hjälp av polynom som vi håller på att lära oss just nu (nyligen)

Någon som vet,snälla?

Låt talens nummer vara $n$ (0, 1, 2, 3) och tal nummer $n$ vara $a_n$.

Vi har då att

$a_0=0$

$a_1=4$

$a_2=16$

$a_3=36$

-------

Vi ser att talen $a_n$ är jämna kvadrater, dvs

$a_0=0=0^2$

$a_1=4=2^2$

$a_2=16=4^2$

$a_3=36=6^2$

-------

Vi ser att roten ur talen är lika med dubbla talens nummer, eftersom

$\sqrt{a_0}=0=2\cdot 0$

$\sqrt{a_1}=2=2\cdot 1$

$\sqrt{a_2}=4=2\cdot 2$

$\sqrt{a_3}=6=2\cdot 3$

---------

Det betyder att talen är lika med kvadraten av (deras nummer gånger 2), dvs

$a_0=(2\cdot 0)^2=0^2=0$

$a_1=(2\cdot 1)^2=2^2=4$

$a_2=(2\cdot 2)^2=4^2=16$

$a_3=(2\cdot 3)^2=6^2=36$

---------

Vi kan nu sammanfatta detta mönster som

$a_n=(2n)^2=2^2\cdot n^2=4n^2$

Jag tror att det här "vi ser att" inte är självklart. En del saker som är väldigt bra att kunna tror jag att man inte pluggar så mycket, utan det ska bli så att man helt enkelt känner igen dem efter några gånger. Jag ser direkt att 0, 4, 16 är kvadrater, men det är inte säkert att det är så uppenbart för alla. I alla fall drar jag den slutsatsen av att MathRules inte kom någonstans med mitt tips att ta roten ur talen.

Yngve skrev:

Låt talens nummer vara $n$ (0, 1, 2, 3) och tal nummer $n$ vara $a_n$.

Vi har då att

$a_0=0$

$a_1=4$

$a_2=16$

$a_3=36$

-------

Vi ser att talen $a_n$ är jämna kvadrater, dvs

$a_0=0=0^2$

$a_1=4=2^2$

$a_2=16=4^2$

$a_3=36=6^2$

-------

Vi ser att roten ur talen är lika med dubbla talens nummer, eftersom

$\sqrt{a_0}=0=2\cdot 0$

$\sqrt{a_1}=2=2\cdot 1$

$\sqrt{a_2}=4=2\cdot 2$

$\sqrt{a_3}=6=2\cdot 3$

---------

Det betyder att talen är lika med kvadraten av (deras nummer gånger 2), dvs

$a_0=(2\cdot 0)^2=0^2=0$

$a_1=(2\cdot 1)^2=2^2=4$

$a_2=(2\cdot 2)^2=4^2=16$

$a_3=(2\cdot 3)^2=6^2=36$

---------

Vi kan nu sammanfatta detta mönster som

Yngve, varför kallar du tal 4 för  a1 när tal 4 är 2 talet det borde ju bara a2? 

Tusen tack för en så fantastisk förklaring!!

Renny19900 skrev:

Någon som vet,snälla?

Renny19900, det står i Pluggakutens regler att manskall vänta åtminstone 24 timmar innan man bumpar sin tråd. 7 timmar är långt ifrån tillräckligt. Fortsätter du bryta mot Pluggakutens regler, kommer du att bli avstängd nästa gång. /moderator

Renny19900 skrev:

Yngve, varför kallar du tal 4 för  a1 när tal 4 är 2 talet det borde ju bara a2? 

Tusen tack för en så fantastisk förklaring!!

Eftersom första figuren kallas "figur 0" så kallar jag första talet för "tal 0", dvs $a_0=0$

Jag numrerar alltså talen från 0 istället för från 1.

------

Men det skulle även gå bra att börja numrera talen från 1. Det skulle vara lite svårare att se sambandet mellan talens ordningsnummer och själva talen och formeln skulle då se lite annorlunda ut.

Så vilket mönster som helst som tex. 1,9,25 går att skriva talen  a0=1 istället för a1=1 

och a1=9 istället för a2=9 ??

så här blir det istället : 

a0=1

a1=9

a2=25 

funkar det eller bara i den tidigare uppgiften?

när jag utgår från att a0=1 får jag att an=(2n+1)^2

när jag utgår från att a1=1 får jag att an= (2n-1)^2 istället. Vilken av de stämmer om jag har talföljden 1,9,25?

Renny19900 skrev:

Så vilket mönster som helst som tex. 1,9,25 går att skriva talen  a0=1 istället för a1=1 

och a1=9 istället för a2=9 ??

så här blir det istället : 

a0=1

a1=9

a2=25 

funkar det eller bara i den tidigare uppgiften?

när jag utgår från att a0=1 får jag att an=(2n+1)^2

när jag utgår från att a1=1 får jag att an= (2n-1)^2 istället. Vilken av de stämmer om jag har talföljden 1,9,25?

Pröva själv!

Om du börjar från index 0 (dvs första talet är $a_0$) och din formel är $a_n=(2n+1)^2$, vad blir då $a_0$, $a_1$ och $a_2$? Stämmer det med talen 1, 9 och 25? I så fall är formeln rätt.

Om du börjar från index 1 (dvs första talet är $a_1$) och din formel är $a_n=(2n-1)^2$, vad blir då $a_1$, $a_2$ och $a_3$? Stämmer det med talen 1, 9 och 25? I så fall är formeln rätt.

Du ser hur viktigt det är att vara tydlig när man skriver sin lösning, att tydligt ange om man börjar på 0 eller 1.

Jag får samma svar i båda dvs. Både bör vara rättdärför attnär jag sätter in 0 i första formeln får jag 1, när jag sätter in 1 i andra formeln för jag också 1

Renny19900 skrev:

Jag får samma svar i båda dvs. Både bör vara rättdärför attnär jag sätter in 0 i första formeln får jag 1, när jag sätter in 1 i andra formeln för jag också 1

Ja, båda är rätt, men det räcker inte att bara kontrollera det första talet (1) med de båda formlerna. Du måste även kontrollera de 2 följande talen (9 och 25).