Momentgenererande funktion till W=aY

ellenpersson skrev:

Anta att Y är Uniformly distributed i intervallet (0,1) och att a>0 är en konstant. 

a) Give the moment-generating function for Y. 

Denna uppgift tror jag att jag har löst.. Fick iallafall svaret (e^t-1)/t. Någon som vet om detta stämmer?

 

b) Härled den momentgenererande funktionen för W=aY, vilken är fördelningen för W och varför?

Det är här jag fastnar.. Någon som har något tips? Vore väldigt tacksam för hjälp!

 

 

 

På a) har du rätt svar.

På b): Vilken fördelning har W? 

Det får man inte givet i uppgiften. Men a är en konstant och Y är uniformly distributed..

ellenpersson skrev:

Det får man inte givet i uppgiften. Men a är en konstant och Y är uniformly distributed..

 Ja jag förstår att det inte är givet i uppgiften, jag tänkte att du kanske har en idé själv. 

Men då hjälper jag lite på traven:

Vad är det maximala värdet aY kan anta? Det minimala?

Och lite mer stringent:  Kan du använda sambandet mellan W och Y (vars fördelning du känner till) för att beräkna P(W<p) för ett godtyckligt p?

Minimala är ju 0 eftersom a>0 och maximala är a. 0<=y<=1. 

Då har vi intervallet (0,a) 

Nu har jag (för att kunna koppla till mitt formelblad att U=aY. Jag har beräknat inversen som blir u/a, samt derivatan med avseende på u till inversen som blir 1/a. fu(u)=(u/a^2) 

Kan jag då ta integralen av e^t(aY) * (u/a^2) dy = (yue^t(ay)) / a^2 

Eller är jag ute och cyklar?

testade ett annat tillvägagångssätt.. Tänkte att eftersom e^(at) är en konstant så den borde jag kunna flytta ut. Och sen använda mig av svaret jag fick i a uppgiften..

ellenpersson skrev:

Minimala är ju 0 eftersom a>0 och maximala är a. 0<=y<=1. 

Då har vi intervallet (0,a) 

Nu har jag (för att kunna koppla till mitt formelblad att U=aY. Jag har beräknat inversen som blir u/a, samt derivatan med avseende på u till inversen som blir 1/a. fu(u)=(u/a^2) 

Kan jag då ta integralen av e^t(aY) * (u/a^2) dy = (yue^t(ay)) / a^2 

Eller är jag ute och cyklar?

Jag är inte riktigt säker på vad du gör här, jag har ju inte tillgång till ditt formelblad heller. Men rent konkret är integralberäkningen felaktig och även om du beräknar integralen korrekt leder det inte till rätt svar.

Har ditt formelblad någon slags formel du använder här? Kan du ange den formeln i så fall?

I vilket fall, följdfrågan är vilken fördelning har W, och jag tror det lättaste sättet att lösa uppgiften är att besvara den frågan först, då kan du beräkna momentgenerande funktion direkt ur definition. I min förra post frågade jag:

Kan du använda sambandet mellan W och Y (vars fördelning du känner till) för att beräkna P(W<p) för ett godtyckligt p?

ellenpersson skrev:

testade ett annat tillvägagångssätt.. Tänkte att eftersom e^(at) är en konstant så den borde jag kunna flytta ut. Och sen använda mig av svaret jag fick i a uppgiften..

 Det är fel svar och felet i dina beräkningar är att e^t(aY) inte är e^at * e^ty

använder fu(u)..

Då får jag P(aY<p)=P(Y<(p/a)). Det är ju fördelningsfunktionen för Y. Hur ska jag använda mig av den?

ellenpersson skrev:

använder fu(u)..

 

 Ok och det är formel två du använder där. 

Då är ditt problem följande:

i formeln |står

 $f_U\left(u\right)=f_Y\left[h^{-1}\right(u\left)\right]\left|\frac{d\left[h^{-1}\right(u\left)\right]}{du}\right|$

men i dina beräkningar har du räknat 

$f_U\left(u\right)=f_Y \times h^{-1}\left(u\right)\left|\frac{d\left[h^{-1}\right(u\left)\right]}{du}\right|$

är P(W<p)=(1/a)?  (fördelningsfunktion för W).

Isåfall kan jag ju derivera och få p(w).. 

Ja juste, men fy(y) är ju en konstant funktion så då borde fu(u) bli (1/a) ? 

Och eftersom intervallet är (0,a) så betyder det väl att den är Uniformly fördelad f(u)=(1/(a-0))

?

ellenpersson skrev:

Då får jag P(aY<p)=P(Y<(p/a)). Det är ju fördelningsfunktionen för Y. Hur ska jag använda mig av den?

 Ja, så vilken fördelning har W?

När du vet fördelningen för W så kan du ju direkt få fram moment generande funktionen direkt ur definitonen av moment genererande funktion.

Dock går det ju också bra att använda formel nr 2 på ditt formelbald, det är i allt väsentligt samma sak, bara ett annat sätt att få fram fördelningen på W.

ellenpersson skrev:

är P(W<p)=(1/a)?  (fördelningsfunktion för W).

Isåfall kan jag ju derivera och få p(w).. 

Ja juste, men fy(y) är ju en konstant funktion så då borde fu(u) bli (1/a) ? 

Och eftersom intervallet är (0,a) så betyder det väl att den är Uniformly fördelad f(u)=(1/(a-0))

?

 Exakt så, och det är egentligen samma sak du får när du använder formel 2 på ditt formelblad.

Svaret är alltså (e^(at)-1) / at ??

ellenpersson skrev:

Svaret är alltså (e^(at)-1) / at ??

 Ja

stämmer den här lösningen för U=aY+b?

ellenpersson skrev:

stämmer den här lösningen för U=aY+b?

 

 Ja

Okej, en annan uppgift, men passar på när jag ändå har skapat tråden eftersom frågan är relaterad.

Förstår inte hur jag går från 4/(t-2)^2 till (1-0.5t)^-2

Någon som har någon räkneregel som bekräftar att man kan skriva om på detta sätt??

ellenpersson skrev:

Okej, en annan uppgift, men passar på när jag ändå har skapat tråden eftersom frågan är relaterad.

Förstår inte hur jag går från 4/(t-2)^2 till (1-0.5t)^-2

Någon som har någon räkneregel som bekräftar att man kan skriva om på detta sätt??

 Det är samma gamla algebraiska regler du bör ha lärt dig i gymnasiet:

$\frac{4}{(t-2{)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{(t-2{)}^2}{4}}}=\frac{1}{{\displaystyle (\frac{t-2}{2}{)}^2}}=(\frac{t-2}{2}{)}^{-2}=(0.5t-1{)}^{-2}=(1-0.5t{)}^{-2}$

Hej!

• Den momentgenererande funktionen för slumpvariabeln $Y$ är lika med funktionen $m(s) = \mathbb{E}(e^{sY})$.
• Den momentgenererande funktionen för slumpvariabeln $aY$ är lika med funktionen $n(t) = \mathbb{E}(e^{taY})$.

Om du jämför dessa två funktioner så ser du att $ta$ kan sättas in istället för $s$ som argument till funktionen $m$ vilket ger

    $n(t) = m(at)$;

eftersom $Y$ är likformigt fördelad på intervallet $[0,1]$ så är $m(s) = \frac{e^{s}-1}{s}$ vilket direkt ger

    $n(t) = \frac{e^{at}-1}{at}$.

ellenpersson skrev:

Okej, en annan uppgift, men passar på när jag ändå har skapat tråden eftersom frågan är relaterad.

Förstår inte hur jag går från 4/(t-2)^2 till (1-0.5t)^-2

Någon som har någon räkneregel som bekräftar att man kan skriva om på detta sätt??

 Hej!

Bryt ut tvåan ur nämnaren; tänk på att den ska kvadreras.

    $\frac{4}{(t-2)^{2}}=\frac{4}{2^{2}(t/2-1)^2} = \frac{4}{4(0.5t-1)^2} = \frac{1}{(0.5t-1)^2}.$