Mologorovs axiom

Jag antar att du pratar om Kolmogorovs axiom.

Vill man visa att $0 \leq P(H) \leq 1$ kan man ju resonera så här:

Enligt Kolmogorovs första axiom är $P(H)$ alltid större än eller lika med noll, alltså stämmer den vänstra olikheten, $0 \leq P(H)$.

Eftersom $H \subseteq \Omega$ (d.v.s. $H$ är del av utfallsrummet $\Omega$) måste $P(\Omega)$ kunna uttryckas med sannolikheten för $H$ och $H$:s komplement $H^C$, då $H$ och $H^C$ tillsammans utgör $\Omega$. Enligt tredje axiomet är sannolikheten för $H \cup H^C$ då lika med $P(H)+P(H^C)$:

$P(\Omega)=P(H)+P(H^C)$

Enligt det andra axiomet är $P(\Omega)=1$:

$1=P(H)+P(H^C)$

löser man ut för $P(H)$ får man:

$P(H)=1-P(H^C)$

Eftersom $P(H^C) \geq 0$ enligt första axiomet blir det ganska tydligt att $P(H) \leq 1$, vilket visar den andra olikheten.

AlvinB skrev:

Jag antar att du pratar om Kolmogorovs axiom.

Vill man visa att $0 \leq P(H) \leq 1$ kan man ju resonera så här:

Enligt Kolmogorovs första axiom är $P(H)$ alltid större än eller lika med noll, alltså stämmer den vänstra olikheten, $0 \leq P(H)$.

Eftersom $H \subseteq \Omega$ (d.v.s. $H$ är del av utfallsrummet $\Omega$) måste $P(\Omega)$ kunna uttryckas med sannolikheten för $H$ och $H$:s komplement $H^C$, då $H$ och $H^C$ tillsammans utgör $\Omega$. Enligt tredje axiomet är sannolikheten för $H \cup H^C$ då lika med $P(H)+P(H^C)$:

$P(\Omega)=P(H)+P(H^C)$

Enligt det andra axiomet är $P(\Omega)=1$:

$1=P(H)+P(H^C)$

löser man ut för $P(H)$ får man:

$P(H)=1-P(H^C)$

Eftersom $P(H^C) \geq 0$ enligt första axiomet blir det ganska tydligt att $P(H) \leq 1$, vilket visar den andra olikheten.

 Ja juste, menade det. Helt låst i min hjärna just nu. Hur kan axiom 1. visas med användning av 2. och 3.? Eller har jag missuppfattat det hela?

Hela poängen med axiom är att det inte går att bevisa med just de andra axiomen. Om det hade gått att bevisa det med hjälp av andra axiom så är det inte längre ett axiom utan ett teorem/sats.

woozah skrev:

Hela poängen med axiom är att det inte går att bevisa med just de andra axiomen. Om det hade gått att bevisa det med hjälp av andra axiom så är det inte längre ett axiom utan ett teorem/sats.

 jag tänkte det, men när jag läser om det kommer det upp bevis?

Man kan inte bevisa axiomen. De är grundläggande antaganden.

Ett axiom är ett påstående som man antar är sant (utan att bevisa det) för att sedan kunna bevisa andra påståenden utifrån dessa grundpåståenden. Axiomen är ofta ganska intuitiva, vilket gör det rimligt att använda dem som grundsatser utan att bevisa dem.

Ett exempel på ett axiom är Euklides första axiom "Det går att dra en rät linje mellan två punkter". Detta är ganska självklart, men det går inte att bevisa med hjälp av några andra av Euklides axiom.

På samma sätt är det med Kolmogorovs axiom. Man antar att de är sanna för att kunna bevisa andra påståenden som inte är lika intuitiva. Tänk själv, det är ganska logiskt att anta att följande påståenden är sanna, eller hur?

1. Sannolikheten för att ett av de möjliga utfallen ska inträffa är reell och positiv.
2. Sannolikheten att något av de möjliga utfallen ska inträffa är $1$ (d.v.s. $100$)
3. Sannolikheten att något av två påståenden ska inträffa (d.v.s. antingen påstående 1 eller påstående 2) är summan av påståendenas sannolikheter.

AlvinB skrev:

Man kan inte bevisa axiomen. De är grundläggande antaganden.

Ett axiom är ett påstående som man antar är sant (utan att bevisa det) för att sedan kunna bevisa andra påståenden utifrån dessa grundpåståenden. Axiomen är ofta ganska intuitiva, vilket gör det rimligt att använda dem som grundsatser utan att bevisa dem.

Ett exempel på ett axiom är Euklides första axiom "Det går att dra en rät linje mellan två punkter". Detta är ganska självklart, men det går inte att bevisa med hjälp av några andra av Euklides axiom.

På samma sätt är det med Kolmogorovs axiom. Man antar att de är sanna för att kunna bevisa andra påståenden som inte är lika intuitiva. Tänk själv, det är ganska logiskt att anta att följande påståenden är sanna, eller hur?

1. Sannolikheten för att ett av de möjliga utfallen ska inträffa är reell och positiv.
2. Sannolikheten att något av de möjliga utfallen ska inträffa är $1$ (d.v.s. $100$)
3. Sannolikheten att något av två påståenden ska inträffa (d.v.s. antingen påstående 1 eller påstående 2) är summan av påståendenas sannolikheter.

 Aha okej då förstår jag! Tack så mycket!

lamayo skrev:

woozah skrev:

Hela poängen med axiom är att det inte går att bevisa med just de andra axiomen. Om det hade gått att bevisa det med hjälp av andra axiom så är det inte längre ett axiom utan ett teorem/sats.

 jag tänkte det, men när jag läser om det kommer det upp bevis?

 Antagligen är dessa bevis på olika följdsatser som bygger på axiomen. $0\leq P(H)\leq1$ är en av dessa följdsatser som kan bevisas med hjälp axiomen (vilket jag gjorde i mitt första inlägg).

Hej!

Kolmogorovs tre axiom för sannolikhetsmått:

1. Sannolikheten $P(A)$ för en händelse $A$ är ett icke-negativt reellt tal.
2. Utfallsrummet $\Omega$ har sannolikheten $1$.
3. Om $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ är en uppräknelig följd av disjunkta händelser så är sannolikheten för deras union lika med summan av de enskilda händelsernas sannolikheter.

        $\displaystyle P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).$

Låt $H$ vara en händelse och $H^c = \Omega \setminus H$ vara dess komplementhändelse. Dessa två händelser är per definition disjunkta och deras union är lika med utfallsrummet. Axiom 3 ger

    $P(H \cup H^c) = P(H)+P(H^c)$

och Axiom 2 ger $P(H)+P(H^c)=1$. Axiom 1 säger att $P(H^c)\geq 0$ vilket medför att

    $P(H) \leq P(H)+P(H^c)$

och Axiom 1 säger också att $0\leq P(H)$. Sammantaget innebär detta att

    $\displaystyle 0 \leq P(H) \leq P(H)+P(H^c) = 1$, vilket skulle visas.

Notera: En delmängd av utfallsrummet behöver inte vara en händelse; det finns delmängder till utfallsrummet för vilka det inte går att definiera någon sannolikhet. 

Om utfallsrummet är uppräkneligt så är alla delmängder händelser, så problematiken dyker upp för överuppräkneliga utfallsrum. 

På grundskolenivå och gymnasienivå är denna diskussion alltför avancerad, och man kan lugnt låtsas som om alla delmängder är händelser. 

Albiki skrev:

Notera: En delmängd av utfallsrummet behöver inte vara en händelse; det finns delmängder till utfallsrummet för vilka det inte går att definiera någon sannolikhet. 

Om utfallsrummet är uppräkneligt så är alla delmängder händelser, så problematiken dyker upp för överuppräkneliga utfallsrum. 

På grundskolenivå och gymnasienivå är denna diskussion alltför avancerad, och man kan lugnt låtsas som om alla delmängder är händelser. 

 Okej, intressant! Tack så mycket!

Albiki skrev:

Notera: En delmängd av utfallsrummet behöver inte vara en händelse; det finns delmängder till utfallsrummet för vilka det inte går att definiera någon sannolikhet. 

Om utfallsrummet är uppräkneligt så är alla delmängder händelser, så problematiken dyker upp för överuppräkneliga utfallsrum. 

På grundskolenivå och gymnasienivå är denna diskussion alltför avancerad, och man kan lugnt låtsas som om alla delmängder är händelser. 

 Varför ger uppräkneligt utfallsrum att alla delmängder är händelser?  Är inte händelserna i princip de mätbara mängderna, då skulle man t.ex. kunna tänka sig att vi enbart kan mäta/ha som händelse hela mängden och tomma mängden som extremfall utan att bryta mot att komplement, uppräknelig union etc är händelser.