Moduloräkning

 Du kan ju dela upp talet så här:

$2^{194}=2^{64·3+2}=2^{64·3}·2^2={\left(2^3\right)}^{64}·2^2$

Eftersom du vet $2^3 (mod 9)$ kan du förenkla med hjälp av räknereglerna för modulär aritmetik.

tack! Men vilken är resten? Hur ska jag fortsätta. Hade uppskattat om du visade för förstår verkligen inte

Börja med att ta en titt på dessa räkneregler:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/kongruensrakning/kongruensrakning

Om vi börjar med att använda multiplikationsregeln får vi:

${(2^{3})}^{64}\cdot 2^{2}\ (mod\ 9)\equiv ({(2^{3})}^{64}\ (mod\ 9))\cdot(2^{2}\ (mod\ 9))$

Resten för $2^{2}$ är ganska enkel att beräkna, så vi fokuserar på den andra termen, där vi kan använda oss av potensregeln:

${(2^{3})}^{64}\ (mod\ 9)\equiv {(2^{3}\ (mod\ 9))}^{64}$

Eftersom vi vet att $2^{3} \equiv -1\ (mod\ 9)$ får vi:

${(2^{3})}^{64} \equiv {(-1)}^{64}\ (mod\ 9)$

Kommer du vidare nu?

 Nej :( kan verkligen inte komma vidare, tycker det är så svårt att förstå? vilken är resten och hur går man vidare? åhh 

Om man räknar modulo 9 så kan resten vara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 eller 8. Eftersom det (åtminstoner i vissa fall) är mycket enklare att räkna med potenser av -1 och 1 så försöker man utnyttja  detta.

8, 17, 26 och 35 är alla 1 steg mindre än en multipel av 8, d v s de har samma rest. Även -1 har samma rest (är kongruent med 8), så man kan utnyttja att $2^3=8$ är kongruent med -1. Om man upphöjer -1 till ett heltal blir svaret antingen 1 eller -1 beroende på om man upphöjer det till ett jämnt eller udda tal.

Läs igenom det som AlvinB skriv en gång till, och om du fortfarande inte förstår så berätta var det är du kö rfast på, så kan vi försöka förklar aännu mer.

Kan man säga då att resten är 8? 

Sarakevinsson skrev:

Kan man säga då att resten är 8? 

 Benar du svaret på ursprungsfrågan

Bestäm resten då 2^194 delas med 9.

eller menar du något annat?

Ja eller jag ska ju bestämma resten för talet. Men vad blir resten? Vet liksom inte hur jag ska fortsätta på Alvins beräkning. 

Kontentan av mitt inlägg var att:

$2^{194} \equiv (-1)^{64}$ $(mod\ 9) \cdot 2^{2}$ $(mod\ 9)$

Om vi nu använder regeln som Smaragdalena nämnde för potenser av $-1$ kan vi förenkla $(-1)^{64}$ till $1$:

$2^{194} \equiv 1 \cdot 2^{2}$ $(mod\ 9)$

Härefter borde det bli hyfsat tydligt vad resten är.

är resten 4?

Just det.

Hoppas du  i alla fall förstått lite av hur vi kom dit. :-)

Tack snälla! Ska gå igenom beräkningarna! :)

Hej!

Fortsätter på denna tråd för mina siffror är nästan exakt samma:

2¹¹¹ delat på 9. Vad blir resten?

Förstår att 2³ = 8 ≡ -1 (mod 9), och att jag kan skriva om potensen till (2³)³⁷ så att jag får (2³)³⁷ ≡ (-1)³⁷ (mod 9). Men vad blir resten? Är den 0 för att 3*37 blir 111 utan någon rest? eller är den 8?

Tacksam för svar!

Välkommen till Pluggakuten! När du kommit till ${(-1)}^{37 }(\mathrm{mod} 9)$ behöver du förenkla lite till innan resten framgår. Vad blir ${(-1)}^{37}$? :)

(-1)³⁷ blir ju -1 för att det är en udda exponent. Så då får jag (2³)³⁷ ≡ -1 (mod 9). Vet inte riktigt hur jag ska vidare därifrån för att ta reda på resten. 

Helt rätt! Nu är vi framme! $2^{111}\equiv -1 (\mathrm{mod} 9)$

Den absolut minsta resten är därmed -1, men den principalt minsta resten (positiv) blir $2^{111}\equiv -1+9=8 (\mathrm{mod} 9)$. :)