Moduloräkning - Redovisa uträkning

Hej!

Jag har läst snart varje tråd gällande liknande uträkningar, antingen är jag okapabel att förstå eller så hakar jag bara upp mig på smådetaljer... har väl förstått att det inte finns "en enda rätt väg" att komma fram till resultatet, man kan förkorta lite hur som men ändå komma fram till resultat..?

Jag ska räkna ut följande: Resten då $2^{151}$ delas med 9. Alltså $2^{151}$ (mod 9). Jag ska även beskriva hur jag räknat ut och förklara med ord..... *frustrerad*

Började kolla efter regler etc för att få en start:

Mod 9: Enda möjliga rest är 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
$a^{n} \equiv b^{n} (m o d c) f ö r a l l a h e l t a l n \geq 0 .$

${(2^{2})}^{75} = 2^{150 + 1}$

${(2^{6})}^{25} = 2^{150 + 1}$

Jag tror jag hakar upp mig just på " $2^{151}$ "och hur jag ska bete mig när jag ska förkorta/förenkla....
Men jag förstår inte hur jag kommer vidare... någon som kan hjälpa mig vidare? Tacksam!

Hejsan!

Inom moduloräkning finns det många regler att ha koll på men samtidigt ger reglerna ganska mycket frihet att göra lite som man vill. Som till exempel i ditt fall med $2^{151} (m o d 9)$ .

Här skulle jag börja med att tänka för vilka exponenter i basen 2 som du kan få en relativt enkel rest i modulo 9

T.ex. $2^{2} \equiv 4$ (mod 9) eller $2^{3} = 8 \equiv - 1$ (mod9)

Vi kan se att med exponenten 3 får vi rest -1 vilket är betydligt lättare att räkna med.

Nu kan man faktorisera $2^{151} = 2^{1} \cdot 2^{150} = 2 \cdot {(2^{3})}^{50}$ (mod9)

Vad får man för rest om du kollar på denna faktorisering? ;)

Hej Simon!

Är jag helt ute och cyklar om jag fortsätter att faktorisera uttrycket $2 \times {(2^{3})}^{50}$ till $2 \times ({(2^{3})}^{2})^{25} (m o d 9)$ ?

Om jag fortsätter blir det:
$2 \times {(64)}^{25} (m o d 9)$
där 64/9 = 7 rest 1

alltså får jag: $2 \times {(64)}^{25} (m o d 9) = {2 \times (1)}^{25} (m o d 9) = 2 \times 1 (m o d 9) = 2 (m o d 9)$

Svaret blir då $2^{151} \equiv 2 (m o d 9)$

Kan jag ha lyckats tro?! :O

Jag förstår inte vad du gör, eller varför.

Jag skulle börja med att undersöka de första 2-potenserna och se efter vad de är kongruenta med (modulo 9):

2¹ = 2 => 2

2² = 4 => 4

2³ = 8 => 8 => -1

2⁴ = 16 => 7

2⁵ = 32 => 5

2⁶ = 64 => BINGO! Då bryter jag ut så många faktorer 2⁶ som möjligt ur 2¹⁵¹ så kommer det att bli enklare...

Vi ser att 151 = 6^.25+1 så 2¹⁵¹ = 2^(6*25+1) = (2⁶)²⁵*2¹ = 1²⁵*2 = 2.

Så vi kom i alla fall fram till samma svar!

EDIT: Och nu, när jag läste igenom det du skrev en gång till, förstår jag hur du tänkte.

Tack så mycket för bra respons och hjälp på traven!

Med $2^{3} = 8 = > 8 = > - 1$ , ska man läsa det sista som "9 minus 1 är 8"? Var först lite förvirrad hur -1 kom till, och att man ens kunde ange negativ rest... Men ska man läsa det som "9 minus 1 är 8" så förstår jag.

Frågan är om mitt sätt eller ditt är "mer korrekt" när det kommer till att redovisa som en inlämningsuppgift, eller spelar det någon roll tror du?

Just därför föredrar jag att hitta en rest som är lika med 1 istället, så slipper man de bekymren! Därmed inte sagt att det ändra sättet är sämre på något sätt.

Nej, 8-9 = -1. Negativa rester är nånting som man aldrig använde när jag lärde mig dividera med "trappan" eller "liggande stolen", s det känns inte så naturligt för mig.

Svara

Visa senaste svar