Moduloräkning med stora potenser

Jag har fastnat i moduloräkningen på exemplet (förstår inte riktigt tankegången)

Vilken rest erhålls då $4^{127}$ delas med 7?

Steg 1: Eftersom $4^2$${\equiv }_7$ 2 så är $4^3$ ${\equiv }_7$ $4\times 2 {\equiv }_7$ 1                              

1. Är detta för att göra $m_1 \times m_{2 } = n_{1 }\times n_2$ på 4? Ser inte att det används senare?

Steg 2: Nu är $127= 3\times 42+1, så 4^{127 }$$=4^{3\times 42+1}$ $= (4^3{)}^{42} \times 4$   

2.varför tar man just x 3 & varför hoppar 4 in?

Steg 3: varur det följer att   $(4^3{)}^{42} \times 4 {\equiv }_{7 } 1^{42} \times 4 {\equiv }_7 4$, rest 4 .

3. Använder man 1 eftersom det är resten på $4^3 = 64{\equiv }_7 1$