Moduloräkning hjälp

Hej ska beräkna resten då 3^190 delas med 5. Förstår inte riktigt hur jag ska göra med börjar med

a^m(mod n) ≡ (a(modn))^m vilket ger mig 3^190(mod 5) ≡ (3(mod5))^190. Eftersom att 3/5 ger oss en rest på 3 så vet vi även att: 3^190(mod 5) ≡ (3(mod5))^190 ≡ (3(mod5))^190. Vilket är det vi visste sen innan, men låter det stå med för att visa.

Vi kan även skriva om enligt räknereglerna (3(mod5))^190 till 3^190 (mod 5). Om vi fortsätter förenkla 3^190 med hjälp av potenslagarna får vi (3^2)^95 (mod 5). Vi har då 9^95 (mod 5) ≡ 9(mod5)^95.

9 har resten 4 vid division med 5. Vilket ger oss ≡ 4(mod5)^95.

Har ingen aning hur jag ska ta mig vidare härifrån då 4/5 också det ger en rest på 4. Vet inte heller hur jag ska göra om 4^95 till 16^x då det blir ett udda tal.

Såg att det blev rätt luddigt utan bra formatering men hoppas att det ska gå och tyda. Tack på förhand

Välkommen till Pluggakuten! Utmärkt försök! :) Moduloräkning är lite mer av en konst än matematiker är vana vid. Jag föreslår att du skriver om $3^{190}$ till $(3^2)^{95}=9^{95}$ . Vad händer om du applicerar modulolagarna nu?

Spoiler alert!

Du kan förenkla 9 (mod 5) till 4, men du kan även förenkla 9 (mod 5) till -1. Prova båda metoder, och se om du kommer fram till samma svar.

Smutstvätt skrev:
Välkommen till Pluggakuten! Utmärkt försök! :) Moduloräkning är lite mer av en konst än matematiker är vana vid. Jag föreslår att du skriver om $3^{190}$ till $(3^2)^{95}=9^{95}$ . Vad händer om du applicerar modulolagarna nu?

Spoiler alert!
Du kan förenkla 9 (mod 5) till 4, men du kan även förenkla 9 (mod 5) till -1. Prova båda metoder, och se om du kommer fram till samma svar.

Tack för snabbt svar, är fortfarande ganska förvirrad av modulo, allt känns så plottrigt och rörigt haha!

Skulle jag då kunna skriva att 9 (mod 5)^95 är kongruent med -1(mod5)^95 och därifrån dra slutsatsen att resten blir 1?

Eller är det meningen att jag ska göra om 4(mod 5)^95 till 4 * (4^2)^47

Vilket ger mig 4 * 16^47 (mod 5) Och då får jag att 4/5 ger rest på 4 och 16/5 ger rest på 1. och 4 * 1 = 4. Så resten blir alltså fyra?

Modulo är plottrigt och jobbigt, tyvärr! Å andra sidan kan man glädja sig åt att uppgifter som "Vilken veckodag är det om $2^{1000}$ sällan kommer upp i vardagen" $😉$ .

Nästan! Det är en korrekt slutsats, men vad är $(-1)^95$ ? Vad blir då resten av $(-1)^{95}\;(\mod\;5)$ ?

EDIT: Nu såg jag ditt nya inlägg:

Eller är det meningen att jag ska göra om 4(mod 5)^95 till 4 * (4^2)^47
Vilket ger mig 4 * 16^47 (mod 5) Och då får jag att 4/5 ger rest på 4 och 16/5 ger rest på 1. och 4 * 1 = 4. Så resten blir alltså fyra?

Du kan göra om det till $4^{95} (\mod 5)$ , och sedan försöka komma till $4^2=16$ , men för att göra det måste du först faktorisera ut en fyra, så att du får $4\cdot4^{94}$ , och därefter kan du gå till $4\cdot(4^2)^{47}$ , och därefter kan du förenkla med modulolagarna. Svaret blir fyra, ändå. :)

Smutstvätt skrev:
Modulo är plottrigt och jobbigt, tyvärr! Å andra sidan kan man glädja sig åt att uppgifter som "Vilken veckodag är det om $2^{1000}$ sällan kommer upp i vardagen" $😉$ .

Nästan! Det är en korrekt slutsats, men vad är $(-1)^95$ ? Vad blir då resten av $(-1)^{95}\;(\mod\;5)$ ?

EDIT: Nu såg jag ditt nya inlägg:
Eller är det meningen att jag ska göra om 4(mod 5)^95 till 4 * (4^2)^47
Vilket ger mig 4 * 16^47 (mod 5) Och då får jag att 4/5 ger rest på 4 och 16/5 ger rest på 1. och 4 * 1 = 4. Så resten blir alltså fyra?
Du kan göra om det till $4^{95} (\mod 5)$ , och sedan försöka komma till $4^2=16$ , men för att göra det måste du först faktorisera ut en fyra, så att du får $4\cdot4^{94}$ , och därefter kan du gå till $4\cdot(4^2)^{47}$ , och därefter kan du förenkla med modulolagarna. Svaret blir fyra, ändå. :)

Tack så mycket för all hjälp fortfarande väldigt förvirrad, men känner att jag vet lite bättre nu haha. Jag länkar en screenshot på det jag skrev så blir det lite tydligare, men det jag kom fram till var det här. https://gyazo.com/137b82ac58b24b4e9210d5894d231b31

(jag klistrar in din bild här)

Det ser bra ut! Det enda jag saknar en parentes på femte "raden":

$3^{2^{95}}$ ska vara ${(3^{2})}^{94}$ . Just nu står det $3^{(2^{95})}$ , vilket inte är det du menar. :)

Svara

Visa senaste svar