Moduloräkning av ett tal

Hej!

Frågan lyder:

"Förenkla $3^{12} (m o d 12)$ så långt som möjligt på formen $a (m o d n)$ "

Mitt försök:

${(3^{2})}^{6} = 9^{6} \equiv {(- 3)}^{6} = 9^{3} = 9^{2} \cdot 9 \equiv q \cdot 9 \equiv (- 3) \cdot (- 3) = 9 (m o d 12)$

(ska vara en 9 istället för q, problem med symboler)

Hur går jag vidare nu? Vill lära mig strategier för att lösa sådana problem! Hittills har jag lärt mig att man ska försöka få talet framför mod n så litet som möjligt, men hur kan man veta om man har hittat det lättaste talet? Om jag inte har gjort det hur ska jag fortsätta?

Jag är själv ingen hejare på kongruensräkning, men om du kommit fram till ett svar där $0 \leq a < n$ kan du inte få det "enklare", om jag förstått dig rätt. I annat fall kan du väl fortsätta som du gjort, tills du har att $0 \leq a < n$ . Som jag förstått det.

dobedidoo skrev :
Jag är själv ingen hejare på kongruensräkning, men om du kommit fram till ett svar där $0 \leq a < n$ kan du inte få det "enklare", om jag förstått dig rätt. I annat fall kan du väl fortsätta som du gjort, tills du har att $0 \leq a < n$ . Som jag förstått det.

1. Jag vet inte om det finns en regel som säger så (vet du det?) men det vi hittills har jobbat med är sådan uttryck som går att förenkla till 1 (mod n). Däremot ser jag inte hur jag ska göra det?

2. Får man använda kongruens flera gånger i samma uträkningar?

Man brukar mena/"tycka" att svaret är maximalt förenklat om man kommer fram till ett svar som uppfyller just kriteriet att (med dina bokstavsbeteckningar) $0 \leq a < n$ . Huruvida det är en "regel" eller inte får jag låta vara osagt. Men, jag kan inte komma på något som skulle kännas enklare. Se t.ex. Wikipedia.

I ditt exempel kan du inte komma fram till svaret 1 (mod 12) eftersom det är fel, så om ni hittills alltid gjort det är det antingen slump eller ett medvetet urval av uppgifter.
Det får man väl rimligen, så länge man är tydlig med att det är det man gör. I din uträkning tycker jag det är helt lugnt, eftersom du ju använder $\equiv$ där det är kongruens modulo som avses (och du har med (mod 12) i slutet.

Återigen, jag har själv räknat mycket sparsamt med kongruens, så någon mer erfaren på området får mer än gärna rätta/kommentera/förtydliga!

Instämmer med dobedidoo. Ett annat korrekt svar hade varit -3 mod 12. Eftersom 3*3=-3 mod 12 gäller tydligen att 3^n=3 mod 12 om n är jämnt och 3^n=-3 mod 12 om n är udda. (Varje multiplikation med 3 byter tecken.)

Henrik Eriksson skrev :
Instämmer med dobedidoo. Ett annat korrekt svar hade varit -3 mod 12. Eftersom 3*3=-3 mod 12 gäller tydligen att 3^n=3 mod 12 om n är jämnt och 3^n=-3 mod 12 om n är udda. (Varje multiplikation med 3 byter tecken.)

1. När jag ser 9 (mod 12) tänker jag att det är kongruent med 9 - 12 = -3 mod 12? Hur kunde du dra den slutsatsen genom omskrivningen 3*3 mod 12 är kongruent med -3?

2.Du skrev samtidigt att 3*3 = (3^2) = -3 mod 12, hur kan då 3^n=3 mod 12 om n är jämnt?

Kombinatorik skrev :
Henrik Eriksson skrev :
Instämmer med dobedidoo. Ett annat korrekt svar hade varit -3 mod 12. Eftersom 3*3=-3 mod 12 gäller tydligen att 3^n=3 mod 12 om n är jämnt och 3^n=-3 mod 12 om n är udda. (Varje multiplikation med 3 byter tecken.)
1. När jag ser 9 (mod 12) tänker jag att det är kongruent med 9 - 12 = -3 mod 12? Hur kunde du dra den slutsatsen genom omskrivningen 3*3 mod 12 är kongruent med -3?
2.Du skrev samtidigt att 3*3 = (3^2) = -3 mod 12, hur kan då 3^n=3 mod 12 om n är jämnt?

Jag gissar att Henrik skrev fel i hastigheten. Byt plats på orden jämt och udda i hans inlägg så stämmer det.

SvanteR skrev :
Kombinatorik skrev :
Henrik Eriksson skrev :
Instämmer med dobedidoo. Ett annat korrekt svar hade varit -3 mod 12. Eftersom 3*3=-3 mod 12 gäller tydligen att 3^n=3 mod 12 om n är jämnt och 3^n=-3 mod 12 om n är udda. (Varje multiplikation med 3 byter tecken.)
1. När jag ser 9 (mod 12) tänker jag att det är kongruent med 9 - 12 = -3 mod 12? Hur kunde du dra den slutsatsen genom omskrivningen 3*3 mod 12 är kongruent med -3?
2.Du skrev samtidigt att 3*3 = (3^2) = -3 mod 12, hur kan då 3^n=3 mod 12 om n är jämnt?
Jag gissar att Henrik skrev fel i hastigheten. Byt plats på orden jämt och udda i hans inlägg så stämmer det.

Men vad är svaret på fråga 1 som var:

När jag ser 9 (mod 12) tänker jag att det är kongruent med 9 - 12 = -3 mod 12? Hur kunde du dra den slutsatsen genom omskrivningen 3*3 mod 12 är kongruent med -3?

1 Jag 3*3=-3 mod 12 är vi ju överens om och den slutsatsen har vi dragit på samma sätt, att 9-12=-3

2. Om ni låter udda vara jämnt stämmer mitt inlägg.

Henrik Eriksson skrev :
2. Om ni låter udda vara jämnt stämmer mitt inlägg.

Vilken förträfflig formulering! :)

Henrik Eriksson skrev :
1 Jag 3*3=-3 mod 12 är vi ju överens om och den slutsatsen har vi dragit på samma sätt, att 9-12=-3
2. Om ni låter udda vara jämnt stämmer mitt inlägg.

Finns det en annan regel jag bör känna till (förutom att 0 är större än eller lika med a^m < n) för hur jag ska veta mer exakt vad a^m mod n har för enklaste förenkling?

Det finns ju Fermats lilla sats, att a^p=a mod p för alla primtal p.

Henrik Eriksson skrev :
Det finns ju Fermats lilla sats, att a^p=a mod p för alla primtal p.

1. Kan talet a vara vilket tal som helst eller måste det också vara ett primtal? Finns det andra villkor?

2. Kan man göra ett godtyckligt a^m mod n, där m är ett sammansatt tal av minst två primtalsfaktorer till att få istället (a^k)^l mod n där k och l är primtal och k*l = m och förenkla dessa enligt satsen? I så fall hur skulle man göra då?

3. Om exponenten m innehöll flera än två primtalsfaktorer hur förenklar man då a^m mod n ?

1. a kan vara vad som helst. Googla om du vill veta mer.

2. Ja det går bra. Googla om du vill veta mer.

3. Som du gjorde med 3^12. Eftersom 12=2*2*3 kunde du klara det med två kvadreringar och en kubering.

Svara

Visa senaste svar