Moduloräkning

Att räkna ut $2^{190} (\mathrm{mod} 5)$ innebär att fråga sig vad resten blir när $2^{190}$ divideras med talet fem. Börja med att läsa Mattebokens förklaring av moduloräkning. 

Det har jag förstått.

Jag använder am ≡ (a(mod n))m

2^190 ≡ (2(mod 5))^190 ≡ (2^5 (mod 5))^38 =32^38 (mod 5) ≡ 2^38 (mod 5) = (2^19)^2 (mod 5) = 4 (mod 5)

Kan det här vara rätt?

Det är nära, men ditt sista steg förstår jag inte riktigt. Så här:$2^{38}(mod 5)=\left(2^2{)}^{19}\right(mod 5)=4^{19}(mod 5)=(4 (mod 5){)}^{19}\equiv (-1{)}^{19}(mod 5)=-1$.

Detta kan man göra i början av uppgiften också: $2^{190}(mod 5)=4^{95}(mod 5)\equiv (-1{)}^{95}(mod 5)=-1$

Tack för hjälpen. Hur kommer det sig att när man räknar ut svaret utan att använda moduloräkning får man rest 0, dvs 1569275433846670*10^42 delat med 5 går jämt upp, dvs rest 0. Varför kan man ha en negativ rest?

Det du skrivit upp är en approximering. Den fullständiga decimalutvecklingen är 1569275433846670190958947355801916604025588861116008628224.${}^1$ Om du räknar på resten av det tal du skrivit, slutar det talet på noll, och går alltså jämnt ut när det divideras med fem. 

Det finns två olika rester, absolut minsta rest och principalt minsta rest. Den absolut minsta resten kan vara negativ, men absolutbeloppet av detta tal måste vara mindre än modulotalet. Exempelvis är $16\equiv 1 (\mathrm{mod} 5)$, och alltså kan vi säga att resten när sexton divideras med fem är lika med ett, eftersom $16=5·3+1$. Vi kan också gå ett steg längre och säga att $16=5·4-4$. Då är absolutbeloppet av resten lika med fyra, och därmed mindre än modulotalet (5). Om vi går längre (till minus nio), är vår rests absolutbelopp större än modulotalet, och det är inte den minsta resten. 

Tack för hjälpen, intressant med olika rester.

I https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/kongruensrakning/kongruensrakning skall det väl i räknereglerna 1 - 3 vara likhetstecken istället.

Nej.

Varför inte? 

För att det handlar om kongruens, inte bara likhet.Det handlar om ett påstående som är sant för alla värden på a och b, inte bara en ekvation som gäller för vissa värden.