Modulo räkning 2^204 delad med 11

2^6 \equiv_{11} 10 med dubbla dollartecken ger

$2^6 \equiv_{11} 10$

Ok, så det är avsaknad av {} som orsakade misstaget.

Orkar du kolla igenom problemet också :-)?

Nu har jag kolla om detta.

Jag får en mycket lång och krångligt beräkning där 2:or omvandlas konstant till 5:or.

$(2^{4})^{51}$ blir $5^{(3 \cdot 17)}$.

$5^{3}$ omvandlas till 4, och $4^{17}$ benas ur till 60...

Finns det något enkelare sätt att hantera detta?

Jag tittade på olika potenser av 2 och såg efter vad de var ekvkivalenta med. Om jag minns rätt så blev $2^6$ ekvivalent med 3 och därefter blev det en cykel med 4 steg. Efter 24 varv i cykeln och två steg till blev det 9, om jag minns rätt. Stämmer det med facit?

Faciten säger bara 5, så jag vet inte :(

Men $2^{6}$ blir nog 64, och isf om jag delar med 11 den högsta möjliga delade blir 55?

Ofta när det gäller sådana här uppgifter är det bra att hitta något som efter mod blir 1 eller -1.

I detta fall kan du skriva om lite $2^{204}=(2^5{)}^{40}·2^4$
Vi kan nu bryta upp det om vi vill:
$2^5\equiv -1(mod11)$
${\left(2^5\right)}^{40}\equiv -1^{40}(mod11)\equiv 1(mod11)$
$2^4\equiv 5(mod11)$
Och till slut blir det:
${\left(2^5\right)}^{40}·2^4\equiv 1·5(mod11)=5(mod11)$

Du kan skriva $2^{204}$ som $(2^3)^{68}$. Sedan är $2^3\equiv_{11} 3$.

Det betyder att du har $3^{68}$. Det kan du skriva som $(3^4)^{17}$ och $3^4\equiv_{11}4$.

Då har du kvar $4^17$ som kan skrivas till $4\cdot 4^{16}$ och då är $4^2\equiv_{11}5$ och således har du $4\cdot 5^8$, som är $4\cdot (5^2)^4$. $5^2\equiv_{11}3$ och du har $4\cdot 3^4$ och $3^4$ har vi redan som $4$. Alltså har du totalt $4\cdot 4\equiv_{11}5$

Edit: Joculator hittade en enklare väg.

Tack till båda!!

Joculators var liksom... Wow, får man också modulera med -1?!

dajamanté skrev :

Tack till båda!!

Joculators var liksom... Wow, får man också modulera med -1?!

Apselut. Det går alldeles utmärkt att säga att göra så.

dajamanté skrev :

Tack till båda!!

Joculators var liksom... Wow, får man också modulera med -1?!

Du modelerar inte med -1, men resten blir -1.
Det går att modulera med -1 också, men jag har faktiskt aldrig sett det.
Men om du är allergisk mot negativa rester kan du istället ta 2^10 vilket ger 1(mod 11)

Jag menade "arbeta med rester" när jag skrev modulera.

Nej jag är inte allergisk, det funkar just fin.