Modulo
Bestäm resten då 5^129 delas med 7
Jag börjar och undersöka alla potenser av 5 och se vilka är kongruenta med mod 7. Detta gör jag för att alla tal dividerat med 5 som är kongruenta mod 7 får samma rest. Jag vill alltså hitta någon potens kongruent med 1 eller 6 (dvs -1). Detta innebär att 5 upphöjd till något tal får resten 1 eller 6 vid mod 7.
så jag har försökt att hitta en potens av 5 som är kongruent med 1 mod 7.
Och fick att
(5^6) ger resten 1 vid mod 7
(5^12) ger resten 1 vid mod 7
(5^18) ger resten 1 vid mod 7
(5^24) ger resten 1 vid mod 7
(5^30) ger resten 1 vid mod 7
(5^36) ger resten 1 vid mod 7
(5^42) ger resten 1 vid mod 7
(5^48) ger resten 1 vid mod 7
(5^60) ger resten 1 vid mod 7
Men jag kommer inte vidare, någon som kan hjälpa mig?
Vad är resten när du delar 5^60 gånger 5^60 med 7?
Resten blir 1
Vad är resten 129/6 då?
Resten är 3
Grejen är att 5^129 = (5^126)(5^3) = (5^6)(5^6)(5^6)…(5^6)(5^3)
vilket mod 7 blir 1*1*1*…*1*125 = 125 = 7*17 + 6 = 6
Fast vart kommer 125 ifrån?
Jag hänger inte riktigt med på uträckningen, skulle du kunna förklara mer hur du kom fram till detta lösning?
Du har kommit fram till att 5^6 = 1 (mod 7)
Då är 5^12 = 1*1 och 5^120 = 1*1*...*1 = 1
och 5^126 = 5^120 * 5^6 = 1*1 = 1
så 5^129 = 5^126 * 5^3 = 1*5*5*5 = 125
(5^3 = 25*5)
125 mod 7 = (119+6) mod 7 =( 17*7 + 6) mod7 =
0+6 = 6
Alternativ lösning, som också bygger på att 5^60 mod 7 är känt.
Visa spoiler
Visst, i och med att 5^6 = 1 så är 5^(6n) = 1 för n = 2, 3, …
Så om m = 6n +k så är 5^m = 5^k
Jaha ok, tack för hjälpen
Hur kan jag motivering om hur resten hänger ihop med värdet modulo 7?
Ibti skrev:Hur kan jag motivering om hur resten hänger ihop med värdet modulo 7?
Vad är det du är osäker på?
Jag har fått som feedback att ge en motivering om hur resten hänger ihop med värdet modulo 7, men jag vet inte riktigt hur jag ska motivera
Jag tycker att vad feedbacken syftar på är lite otydligt eftersom jag inte vet hur din inlämning ser ut. Men här är en allmän motivering.
Vad blir resten om du dividerar t.ex. 25 med 7?
25/7=3,57142...
Du kan alltså ta 7 tre gånger och knappt nå upp till 25.
7*3=21 och 25-21=4 så därför är resten 4, dvs att 25=7*3+4, vilket vi kan skriva som
25 (mod 7)=4
Du skrev tidigare att du kom fram till att 5^60 (mod 7)=1. På motsvarande vis innebär detta att 5^60=7n+1, för något n. Alla andra tal k där k (mod 7) = 1 är då kongruenta med 5^60, eftersom resten är 1 i båda fallen. Det är just det du utnyttjar i din beräkning för att komma fram till ett svar. 5^129 är som du vet ett oerhört stort tal, så stort att det inte går att behärska direkt. Därför måste du byta ut talet mot andra, kongruenta, tal.
feber01 skrev:Jag tycker att vad feedbacken syftar på är lite otydligt eftersom jag inte vet hur din inlämning ser ut. Men här är en allmän motivering.
Vad blir resten om du dividerar t.ex. 25 med 7?
25/7=3,57142...
Du kan alltså ta 7 tre gånger och knappt nå upp till 25.
7*3=21 och 25-21=4 så därför är resten 4, dvs att 25=7*3+4, vilket vi kan skriva som
25 (mod 7)=4
Du skrev tidigare att du kom fram till att 5^60 (mod 7)=1. På motsvarande vis innebär detta att 5^60=7n+1, för något n. Alla andra tal k där k (mod 7) = 1 är då kongruenta med 5^60, eftersom resten är 1 i båda fallen. Det är just det du utnyttjar i din beräkning för att komma fram till ett svar. 5^129 är som du vet ett oerhört stort tal, så stort att det inte går att behärska direkt. Därför måste du byta ut talet mot andra, kongruenta, tal.
Så här ser min uträkning ut:
och det här är lärarens kommentar
Till att börja med så är mod 7 inte ett eget värde, det är inte ett tal. Det är därför inte helt rätt att säga att något tal är kongruent med ”mod 7”. Två tal a och b kan däremot vara kongruenta med varandra modulo 7. Det innebär att talen a och b ger samma rest vid division med 7.
Likaså ger 5^6 resten 1 vid division med 7 och inte ”vid mod 7”.
Sedan verkar du också ha använt likhetstecken istället för ”kongruenstecknet”.
Försök omformulera dig på rätt sätt så kommer du säkert kunna motivera.
Läraren har ju inte kommenterat hur jag har formulerat mig utan vill att jag ska lägga till motivering om hur resten hänger ihop med värdet modulo 7, och det jag behöver hjälp med inte om hur min mening är formulerat.
Jag vet inte riktigt hur jag ska motivera om hur resten hänger ihop med värdet modulo 7
Precis, och om du förstår hur din formulering är lite fel så kommer du säkert också kunna motivera hur resten hänger ihop med modulo 7. Det handlar ju inte om hur du formulerar dig utan om att du bör förstå varför ditt eget resonemang fungerar.
