Modulo 8

Har du provat alla från 0 upp till 7?

Iochmed att du bara vill ha svar mod 8 så är rak testning egentligen det enklaste. Bara att testa alla 0,1,2,3,4,5,6,7 och bli klar.

Vill man vara lite optimalare kan det alltid vara bra att i alla fall testa om de går att faktorisera sina polynom över heltal

$x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$

Om man inte vill ha negativa tal kan man ta ett kongruent polynom

$(x + 1)(x - 3) \equiv_8 (x + 1)(x + 5)$

Men från denna form kan man kanske lite rakare se att ett tal är delbart med 8 när antingen en av faktorierna är 8 eller när deras produkt är delbart med 8; ex om ena är delbar med 4 och andra delbar med 2 osv. 

I det här fallet är det förresten meningsfullt att lösa ekvationen som vanligt och sedan tänka modulo 8, då slipper man prova alla tal från 0 till 7.

Edit: någon hann före med en minut. 

Laguna skrev:

I det här fallet är det förresten meningsfullt att lösa ekvationen som vanligt och sedan tänka modulo 8, då slipper man prova alla tal från 0 till 7.

Du skriver att jag ska lösa ekvationen som vanligt, men det finns ju inget högerled.

Laguna skrev:

Har du provat alla från 0 upp till 7?

 Ja, det tycker jag att jag har. Men jag måste väl ha tänkt fel på något vis?

Lisa Mårtensson skrev:

Laguna skrev:

I det här fallet är det förresten meningsfullt att lösa ekvationen som vanligt och sedan tänka modulo 8, då slipper man prova alla tal från 0 till 7.

 Du skriver att jag ska lösa ekvationen som vanligt, men det finns ju inget högerled.

Delbart med 8 betyder att det är lika med 0 modulo 8. Så högerledet är 0.

Tack, då förstår jag. Får fortsätta imorgon :-)

SeriousCephalopod skrev:

Iochmed att du bara vill ha svar mod 8 så är rak testning egentligen det enklaste. Bara att testa alla 0,1,2,3,4,5,6,7 och bli klar.

Vill man vara lite optimalare kan det alltid vara bra att i alla fall testa om de går att faktorisera sina polynom över heltal

$x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$

Om man inte vill ha negativa tal kan man ta ett kongruent polynom

$(x + 1)(x - 3) \equiv_8 (x + 1)(x + 5)$

Men från denna form kan man kanske lite rakare se att ett tal är delbart med 8 när antingen en av faktorierna är 8 eller när deras produkt är delbart med 8; ex om ena är delbar med 4 och andra delbar med 2 osv. 

 Jag har funnit att 3 fungerar fint att sätta in i det faktoriserade polynomet. Produkten av faktorerna blir delbar med 8.

(3+1)(3+5)=4*8=32

Men när jag sätter in 3 i det ursprungliga polynomet $x^2-2x-3$ så får jag ju 0.

$3^2-2·3-3=9-6-3=0$

Noll är inte delbart med 8 i mina ögon. Eller 0/8=0. Har man 0 i täljaren så spelar det ingen roll vad man har i nämnaren, kvoten blir hur som helst 0. Det är förbjudet att ha 0 i nämnaren, men 0 i täljaren är ju faktiskt möjligt.

Man kanske skulle kunna uttrycka det så här när det gäller 32 respektive 0, som är de resultat jag får dram genom att sätta in 7 respektive 3 i det ursprungliga polynomet:

$32\equiv 0(mod 8)$

I sådana fall skulle svaret på uppgiften om vilka x som gör att polynomet blir delbart med 8 vara $\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{.}$

Jag ser inte att det skulle vara att ange en lösning för mycket. Man skulle ju ange minsta antal lösningar. Eller vad säger ni som kan detta?

0 är delbart med alla tal - att ett tal är delbart med t ex 8 betyder ju att resten är 0 när man delar med 8.

Har du testat med talen 11, 15, 19?

Tack för alla förklaringar!