Modulo

Edit: Nu tolkade jag visst "jämn kvadrat" som en kvadrat av ett jämnt tal $(2n)^2$. Det är förmodligen bara en kvadrat av ett heltal som avses. Men låter mitt svar stå kvar eftersom det innehåller ledtrådar även till hur man beräknar tillåtna kvadratiska rester.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Om vi delar ett tal med 10 får vi som rest sista siffran i talet. Exempel 18/10 ger resten 8.

Studera det jämna talet $2n$ där n är ett heltal.

$4n^2\equiv a \quad\mathrm{mod}(10)$

Förhoppningsvis känner vi till att tillåtna kvadratiska rester mod(10) är 0,1,4,5,6,9. Nu måste vi dock ta hänsyn till att vi räknar med en jämn kvadrat, vilket kommer ta bort några tillåtna rester.

För a=0 hittar vi enkelt ett n(=0 eller 10) som uppfyller relationen. Alltså är 0 en tillåten sista siffra.

För a=1 får vi den diofantiska ekvationen $4n^2-10m=1$ och där är båda koefficienterna åtminstone är delbara med 2 ( gcd(10,4)=2 ), alltså saknar ekvationen heltalslösningar eftersom 2 inte delar 1. Detta gäller alla ojämna kvadratiska rester.

Nu återstår a=4,6 som möjliga tillåtna sista siffror. Båda visar sig fungera (visa detta!). Alltså är slutsiffrorna 1,2,3,5,7,8,9 omöjliga att uppnå med $(2n)^2$.

Slutligen: det finns enklare och mer eleganta sätt att lösa uppgiften (om än mindre pedagogiskt), t.ex. går det att använda egenskaper hos kvadrater. Kan du hitta något av dessa sätt?

Tack så mycket för hjälpen! Fast det känns att det är så komplicerat!  
Men kan någon hjälpa mig och lösa uppgiften på ett enklare och tydligare sätt? 

Om ett tal slutar på 0, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Om ett tal slutar på 1, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Om ett tal slutar på 2, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Om ett tal slutar på 3, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Om ett tal slutar på 4, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Om ett tal slutar på 5, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Om ett tal slutar på 6, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Om ett tal slutar på 7, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Om ett tal slutar på 8, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Om ett tal slutar på 9, kommer kvadraten på detta tal alltid att sluta på samma siffra. Vilken?

Vilka siffror dök aldrig upp?

Tack så mycket för hjälpen! 

2,3,7 och 8 är omöjliga!