Modulo 10
Jag har en uppgift att lösa som ser ut på detta sätt:
Vilken rest erhålls då
divideras med 10?
Jag tänker mig att det vore klokt att räkna modulo 10.
Att det som är inom parentesen är upphöjt till 10 misstänker jag inte har någon inverkan på svaret eftersom något som är upphöjt till 10 borde vara delbart med 10. Tänker jag rätt där?
Återstår alltså det som finns inne i parentesen. Det är 2 stora tal, så jag måste göra dem hanterbara genom moduloräkning. De ska adderas, men det kan inte göras på en gång och jag kan inte använda någon potenslag eftersom det är två termer (ej faktorer) och de har olika bas.
Hur kan jag nu börja?
Skulle behöva lite hjälp att komma igång med tänket. Jag är bekant med moduloräkning, men har inte gjort just den här typen av uppgifter förut.
Att det som är inom parentesen är upphöjt till 10 misstänker jag inte har någon inverkan på svaret eftersom något som är upphöjt till 10 borde vara delbart med 10. Tänker jag rätt där?
Nej. som inte är delbart med 10.
17 är kongruent med 7 (mod 10).
Studera potenserna av 7 (mod 10) - som är kongruent med 9 (mod 10). Undersök potenserna av 7 (mod 10) tills de börjar upprepa sig.
Studera potenserna av 8 på samma sätt.
Kommer du vidare?
Om allting upphöjt till 10 vore delbart med 10 skulle uppgiften vara löst direkt. Men det är inte heller så att något upphöjt till 10 ger samma rest när man delar med 10: 1024 ger resten 4.
Oj, där hade jag verkligen fel vad gäller exponenten 10. Det kommer ja vinet att glömma nu. Ska prova att räkna som Smaragdalena föreslår och återkommer sedan med hur jag gjort.
17 är kongruent med 7 modulo 10.
15 kan skrivas 3*5
7^3=343 vilket är kongruent med 3 modulo 10
3^5=243 vilket är kongruent med 3 modulo 10
Alltså har vi att resten är 3 för den första termen.
Exponenten 25 kan skrivas som 5*5
8^5 är kongruent med 8 modulo 10 (resten blir 8 då 32 768 delas med 10)
Återigen är 8^5 kongruent med 8 modulo 10.
Alltså har vi resten 8 för den andra termen.
Resterna summeras 3 + 8 = 11 vilket är det tal vi har innanför parentesen och som sedan ska upphöjas till 10.
Exponenten kan skrivas 2*5
11^2=121 vilket är kongruent med 1 modulo 10.
1^5=1 vilket blir resten då 11^10 divideras med 10.
Mycket bra, tycker jag. Men hur hade du gjort om det hade varit 17^23 och 8^29?
Jag inser att min metod inte hade fungerat ifall jag inte hade kunnat faktorisera exponenterna. Och jag ser också att jag inte alls följde Smaragdalenas råd att titta på potenserna av 7 tills de började upprepa sig. Jag tror att jag har inte hunnit läsa de sidorna i kurslitteraturen ännu där detta förklaras. (Läser Matematik I Algebra distanskurs på Stockholms universitet). Ni får gärna guida mig lite så ska jag prova att lösa uppgiften på ett mer gångbart sätt.
Det blev ju också så att jag kom upp i väldigt stora tal, är väl inte att föredra att räkna med. Det var ju tur det var modulo 10 i alla fall, vilket gjorde det lite enklare när det gällde divisionen!
