Modellera elektrisk krets som state space modell

Uppgiften är att modellera följande elektriska krets som state space modell.
I uppgiften finns endast symbolerna u(t), C, R och y(t).
Jag har själv märkt strömmarna och spänningarna, men jag vet inte om jag har märkt dem rätt.
Speciellt är jag osäker på $i_{1}$ och $i_{6}$ .
Problemet jag har är att jag inte lyckas hitta rätt samband mellan $i_{2}, i_{3}, i_{4} o c h i_{5}$ som ger mig differentialekvationerna med avseende på state space variablerna $v_{c 1} o c h v_{c 2}$ .

Det jag har kommit fram till hittills är följande ekvationer:
KVL:

$u (t) = v_{c 1} + v_{r 1} \Rightarrow v_{r 1} = u (t) - v_{c 1}$

$y (t) = v_{r 1} - v_{c 2} = u (t) - v_{c 1} - v_{c 2}$

$v_{r 2} = v_{c 1} + v_{c 2}$

KCL:

$i_{1} = i_{2} + i_{3} = i_{4} + i_{6}$

$i_{3} = i_{4} + i_{5}$

$i_{6} = i_{2} + i_{5}$

Differentialekvationer:

$\frac{d}{d t} v_{c 1} = \frac{i_{3}}{C}$

$\frac{d}{d t} v_{c 2} = \frac{i_{5}}{C}$

Resistanser ger:
$v_{r 1} = R i_{4} \Rightarrow i_{4} = \frac{v_{r 1}}{R} = \frac{u (t) - v_{c}}{R}$

$v_{r 2} = R i_{2} \Rightarrow i_{2} = \frac{v_{c 1} + v_{c 2}}{R}$

Så förutsatt att allt är rätt behöver jag komma från $i_{3}$ och $i_{5}$ till $i_{2}$ och $i_{4}$ .
Jag vet dock inte hur.
Jag har försökt kombinera ekvationerna från KCL på olika sätt, men hittar inte rätt.
Finns det några antaganden man kan göra eller har jag missat något?

Kollar man i facit så finns endast state space modellen.

$\frac{d}{d t} x (t) = \frac{1}{R C} [\begin{matrix} - 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}] x (t) + \frac{1}{R C} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] y (t) = [\begin{matrix} - 1 & - 1 \end{matrix}] x (t) + u (t)$

vilket ger differentialekvationerna

$\frac{d}{d t} v_{c 1} = \frac{u (t) - 2 v_{c 1} - v_{c 2}}{R C} \Rightarrow i_{3} = \frac{u (t) - 2 v_{c 1} - v_{c 2}}{R}$

$\frac{d}{d t} v_{c 2} = \frac{- v_{c 1} - v_{c 2}}{R C} \Rightarrow i_{5} = \frac{v_{c 1} - v_{c 2}}{R}$

Man kan då få
$i_{3} = i_{4} - i_{2}$

$i_{5} = - i_{2}$

Jag vet inte om det är "lagligt" att göra så, eller om det är ren slump, men det stämmer överens enligt ekvationerna ovan så vitt jag kan se.
Däremot så finns inte de sambanden med, vad jag kan se, enligt KCL.
Man kan få de sambanden ifall $i_{6} = 0$ eller ifall $i_{6}$ kan "cancelleras" på något sätt.
Så därför misstänker jag att det är något jag har missat, kanske då just med $i_{1}$ och $i_{6}$ specifikt?

Är det jag har gjort rätt?
Hur kommer jag från mina ekvationer till lösningen, ifall de är rätt?
Vad har jag missat?

Tacksam för hjälp.

Jag har fått svar på frågan på annat håll, där jag också frågade den.
Om jag förstår det rätt så är $i_{6}$ = 0 för att det är spänningssignaler.
Det leder då till att man får ekvationerna som behövs.

Det borde också innebära att $i_{1} = 0$ eftersom insignalen är en spänning också?
Men borde inte det då innebära att $i_{4} = 0$ ?
Så jag tror jag har fått svaret jag behöver, men jag skulle gärna ta lite mer information om hur kretsen fungerar och varför.

Hej!

Jag skulle Laplacetransformera kretsen och skriva upp sambandet mellan insignal och utsignal som

$Y(s) = G(s)X(s)$

där $G$ betecknar kretsens överföringsfunktion (dess impulssvar) och $X$ och $Y$ är Laplacetransformerna av insignalen respektive utsignalen. De kapacitiva impedanserna blir då $\frac{1}{sC}$ (vilket motsvarar integrering av insignalen i tidsplanet) och de resistiva impedanserna blir $R$ (vilket motsvarar förstärkning i tidsplanet).

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Jag skulle Laplacetransformera kretsen och skriva upp sambandet mellan insignal och utsignal som
$Y(s) = G(s)X(s)$
där $G$ betecknar kretsens överföringsfunktion (dess impulssvar) och $X$ och $Y$ är Laplacetransformerna av insignalen respektive utsignalen. De kapacitiva impedanserna blir då $\frac{1}{sC}$ (vilket motsvarar integrering av insignalen i tidsplanet) och de resistiva impedanserna blir $R$ (vilket motsvarar förstärkning i tidsplanet).
Albiki

Jag tänkte mer hur kretsen fungerar rent fysiskt/elektriskt och vilka antaganden man kan göra om den.
Grejen är att det är en kurs i linjär reglerteknik/kontrollteori/vad-man-nu-ska-kalla-det, så elläran är inte del av den. Vi har inte lärt oss så mycket ellära och jag kommer ihåg desto mindre utav den, så det är därför den biten är en del konfunderande. Jag tror att eluppgifterna är menade för folk från andra program som går samma kurs med oss, men jag gör gärna dem ändå för att försöka förstå det.

Men deluppgift b är att göra om den till överföringsfunktion, så det blir lite transformeringar ändå~
Men tack!

Svara

Visa senaste svar