Modell med differentialekvation

nyfikenpåattveta skrev:

Hej.

Har fastnat och skulle uppskatta om någon kunde bolla mina frågetecken med mig!

 

Fråga:

Radioaktivt Thorium B sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot mängden thorium b vid tidpunkten i fråga, så att hälften av den ursprungliga mängden återstår efter 10,6 h. 

Hur stor andel av den ursprungliga mängden återstår efter ett dygn?

 

Min fråga

1) Det känns som att denna information är betydande: "Radioaktivt Thorium B sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot mängden thorium b vid tidpunkten i fråga". Av någon anledning får jag inte in i huvudet vad som menas här riktigt?

...

2) kan man tänka att eftersom huvudfrågan (Hur stor andel av den ursprungliga mängden återstår efter ett dygn?) handlar om "andelar" så ska man tänka att y (x)=andelar?

...

1) Vi börjar med att ställa upp diffekvationen.

Låt y(t) vara mängden Thorium B vid tidpunkten t.

Då är ju y'(t) lika med förändringen per tidsenhet av mängden Thorium B vid tidpunkten t, dvs sönderfallshastigheten vid tidpunkten t.

Med hjälp av dessa två beteckningar kanske du kan formulera den diffekvation som motsvarar "Radioaktivt Thorium B sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot mängden thorium b vid tidpunkten i fråga"?

2) Om du anger tiden t i timmar så är y(t+24) mängden Thorium B ett dygn efter tidpunkten t. Då kan du ange andelen kvarvarande Thorium B ett dygn efter tidpunkten t som kvoten y(t+24)/y(t).

1) Konstanten C beror på hur mycket av ämnet det finns från början. Det är vanligare att man betecknar det med $N_0$ när det handlar om radioaktivt sönderfall, men det går precis lika bra vilket som.

2) Standardmetoden sätta in att y(0)=C (eller N₀] och att y(t_½)= C/2, där t_½ är halveringstiden. Då får du fram ett värde på k (som man brukar kalla för lambda ($\lambda$) när det handlar omradioaktivt sönderfall.

3) Om inte HL = 0 så har du inhomogen diffekvation. Då blir lösningen till diffekvation en summa av den homogena lösningen (= exponentialfunktion i det här fallet) och en partikulärlösning. Läs mer om det här.

Hej!

Låt $y(x)$ beteckna mängden radioaktivt Thorium B som finns tillgänglig $x$ timmar efter att klockan startades. Klockan startades vid tidpunkten $x=0$ och då fanns det $y(0)$ kilogram radioaktivt Thorium B. Eftersom Thorium B är radioaktivt kommer mängden att minska med tiden (ämnet sönderfaller). 

Fråga 1. Derivatan $y'(x)$ beskriver hur snabbt mängden minskar vid tidpunkten $x$. Enligt texten är derivatan proportionell mot den aktuella mängden $y(x)$; det finns alltså ett positivt tal ($k$) sådant att

    $y'(x) = -k\cdot y(x) \iff y'(x)+k\cdot y(x) = 0.$  

Differentialekvationens lösningar (notera pluralformen) är $y(x) = Ce^{-kx}$ där konstanten $C$ kan vara vilket tal som helst. Men om man vet hur mycket Thorium B som fanns vid tiden $x=0$ så måste $C$ vara lika med just denna mängd, $C = y(0).$ Då får man den enda lösningen

    $y(x) = y(0)e^{-kx}.$

Fråga 2. Andelen Thorium B som finns kvar vid tidpunkten $x$ (jämfört med hur mycket som fanns vid tidpunkt $x=0$) är lika med kvoten $y(x)/y(0).$ Från Fråga 1 ser du att denna andel är lika med $e^{-kx}.$

Fråga 3. Se min text om Fråga 1.

Oj vilka grymma svar. TACK!

En földfråga till Albiki:

Jag har svårt att tolka y'(x)=-k*y(x). Uppgiften ger ju att VL är proportionell mot den aktuella mängden y(x) vilket därmed ger en konstant k. Men detta samband är väl inte generellt, alltså att förändringshastigheten y(x) kan beräknas genom att ta k*y(x) för andra situationer ? Hade man inte fått denna proportionalitetsinfo hade man aldrig kunnat ställa upp y'(x)=k*y(x)?

När jag tänker proportionella samband tänker jag på s=vt och antar att v är en konstant. Men detta ger ju inte "förändring" VL utan bara en statisk sträcka. 

Om y är proportionellt mot x, så betyder det att y=kx (d v s y är en linjär funktion av k med m-värdet 0).

För sambandet s=vt så är s proportionellt mot både v och t, medan v och t är omvänt proportionella mot varandra och proportionella mot s, d v s man får fram v=s/t och t=s/v.

nyfikenpåattveta skrev:

...

Jag har svårt att tolka y'(x)=-k*y(x). Uppgiften ger ju att VL är proportionell mot den aktuella mängden y(x) vilket därmed ger en konstant k. Men detta samband är väl inte generellt, alltså att förändringshastigheten y(x) kan beräknas genom att ta k*y(x) för andra situationer ? Hade man inte fått denna proportionalitetsinfo hade man aldrig kunnat ställa upp y'(x)=k*y(x)?

...

Nej det gäller inte generellt.

Fysikaliska (och andra) fenomen låter sig ibland beskrivas med hjälp av matematiska modeller, och då kommer ofta differentialekvationer in i bilden. Men dessa differentialekvationer kan se väldigt olika ut, beroende på vilket fenomen som ska beskrivas.

Tackar för era svar blev minsann klokare:)