Möbiusavbildning

Jag sitter med en uppgift i komplex analys som handlar om Möbiusavbildningar och förstår inte hur man ska göra.

Jag skulle behöva hjälp med följande uppgift:

Hitta Möbiusavbildning som mappar

0 till 1

1 till 1+i

$\infty$ till i

Under denna mappning vad är bilden av:

a) en cirkelbåge genom -1 och -i

b) en linje från Imz=Rez

Formeln för en Möbiusavbildning är väl att man sätter $f (z) = \frac{a z + b}{c z + d}$

men jag förstår inte hur man ska använda den till att mappa 0 till 1 osv.

f(0) är b/d och det ska vara 1. Då har du att d = b. Osv.

Ta fram uttryck för vad de olika värdena blir. Sätt in $0$ i $f(z)$ så att du får:

$f\left(0\right)=\dfrac{b}{d}$

Eftersom du vill att $f(0)=1$ vill du att:

$\dfrac{b}{d}=1$

Du kan göra på motsvarande sätt med resterande villkor.

Avbildningen $w(z)$ ges av ekvationen

$\displaystyle\frac{(z-0)(\infty-1)}{(z-1)(\infty-0)} = \frac{(w-1)(i-1-i)}{(w-1-i)(i-1)}\iff \frac{z}{z-1} = \frac{1-w}{(w-1-i)(i-1)}.$

Förenkling ger

$\displaystyle w(z) = 1 - (1+i) \frac{z}{1+z(i-2)}.$

Jag vet inte om det blir rätt men jag satte:

$(z_{1}, z_{2}, z_{3}) = (0, 1, \infty)$ $(w_{1}, w_{2}, w_{3}) = (1, 1 + i, i)$

och fick då $\frac{(z - 0) (\infty - 0)}{(z - 1) (\infty - 1)} = \frac{(w - 1) (i - 1)}{(w - (1 + i)) (i - (1 + i))}$ men det stämmer ju inte med $\frac{(z - 0) (\infty - 1)}{(z - 1) (\infty - 0)} = \frac{(w - 1) (i - 1 - i)}{(w - 1 - i) (i - 1)}$

jag vet inte riktigt var det blir fel.

Varför blandar du in en vektor med tre komponenter i det komplexa talplanet?

Har du läst på det mest självklara stället? Strax ovanför rubriken Spegelpunkter står det precis hur su skall göra i den här uppgiften.

ja i exemplet sätter dom $\frac{(z - z_{2}) (z_{1} - z_{3})}{(z - z_{3}) (z_{1} - z_{2})} = \frac{(w - w_{2}) (w_{1} - w_{3})}{(w - w_{3}) (w_{1} - w_{2})}$

och eftersom vi har att möbiusavbildningen mappar

0 till 1

1 till 1+i

$\infty$ till i

satte jag $z_{1} = 0, z_{2} = 1, z_{3} = \infty w_{1} = 1, w_{2} = 1 + i, w_{3} = i$

men då stämmer det ändå inte.

Visa hur du har gjort steg för steg. Vi som svara här är bra på matte, men usla på tankeläsning.

Jag använde formeln $\frac{(z - z_{2}) (z_{1} - z_{3})}{(z - z_{3}) (z_{1} - z_{2})} = \frac{(w - w_{2}) (w_{1} - w_{3})}{(w - w_{3}) (w_{1} - w_{2})}$

och satte in värdena för $z_{1} = 0, z_{2} = 1, z_{3} = \infty, w_{1} = 1, w_{2} = 1 + i, w_{3} = i$

då fick jag:

$\frac{(z - 1) (0 - \infty)}{(z - \infty) (0 - 1)} = \frac{(w - (1 + i)) (1 - i)}{(w - i) (1 - (1 + i))}$

Idil M skrev:
Jag använde formeln $\frac{(z - z_{2}) (z_{1} - z_{3})}{(z - z_{3}) (z_{1} - z_{2})} = \frac{(w - w_{2}) (w_{1} - w_{3})}{(w - w_{3}) (w_{1} - w_{2})}$
och satte in värdena för $z_{1} = 0, z_{2} = 1, z_{3} = \infty, w_{1} = 1, w_{2} = 1 + i, w_{3} = i$
då fick jag:
$\frac{(z - 1) (0 - \infty)}{(z - \infty) (0 - 1)} = \frac{(w - (1 + i)) (1 - i)}{(w - i) (1 - (1 + i))}$

Hur hade du tänkt hantera faktorn $z-\infty$ ? Är inte den alltid "lika med" $\infty$ ?

Svara

Visa senaste svar