Minstakvadratmetod

Det vi minimerar med minstakvadratmetoden är avståndet (i y-led) till linjen vi valt, är så liten så möjligt för alla värden. Med andra ord: vi minimerar hur fel vi gissat. 

Vi tar värdena i kvadrat eftersom vi annars måste tjafsa med plus och minus. Om avståndet till punkten P är minus fem, och avståndet till punkten Q är plus fem, får vi att det totala felet är noll. Om vi istället kvadrerar felen blir alla fel positiva, och vi får veta att fetet är 50, vilket säger mer om verkligheten. 

• Naturen har givit dig par av mätvärden $(x_i,y_i)$.
• Modellen säger att det finns ett linjärt samband mellan x-värden och y-värden.
• När $x=x_i$ så sade Naturen att $y=y_i$, och Modellen säger att $y=m+kx_i$; avvikelsen mellan Natur och Modell är differensen $y_i-(m+kx_i)$.
• Minsta-kvadratmetoden söker efter $k$ och $m$ så att de kvadratiska avstånden $\{y_i-(m+kx_i)\}^2$ blir så små som möjligt.

Läs mer om metoden här, inkl. ett exempel:

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tmv036c/0910/Studio/minstakvadrat.pdf

Matematiskt kan man formulera det:

$\underset{k,m}{\min }\sum _{i=1}^n(y_i-(k{x}_i+m){)}^2$

Tackar alla!

Jag förstådd inte poäng med kvadratering, men det är klart att om vi tar negativa + positiva avvikelser då ser avvikelserna mycket mindre än i verkligheten och modellen ser perfekt ut :). Men varför tar dem inte rötten ur?

@tomast80: varför beräknar dem inte med den kvadratiska medelfelet (i din dokument)?:

 @Albiki: jepp, jag vet vad du menar. Naturen gav mig fördelar och nackdelar som jag avrundar konstant :)

tomast80 skrev:

Matematiskt kan man formulera det:

$\underset{k,m}{\min }\sum _{i=1}^n(y_i-(k{x}_i+m){)}^2$

 Vad har hänt med 1^n?

Bör inte 1^n vara negativ för varje udda potens?

dajamanté skrev:

tomast80 skrev:

Matematiskt kan man formulera det:

$\underset{k,m}{\min }\sum _{i=1}^n(y_i-(k{x}_i+m){)}^2$

 Vad har hänt med 1^n?

Bör inte 1^n vara negativ för varje udda potens?

 Det finns inget $1^n$. Vad menar du med $1^n$?

För övrigt är $1^n$ alltid lika med $1$, oavsett om $n$ är udda eller jämn.

Det var innan edit. Jag tror tomast80 skrev det.

Just det. Of course. Jag såg $1^n$ och hjärnan tolkade $(-1{)}^n$.  Dags för mig att promenera en stund...

dajamanté skrev:

Tackar alla!

Jag förstådd inte poäng med kvadratering, men det är klart att om vi tar negativa + positiva avvikelser då ser avvikelserna mycket mindre än i verkligheten och modellen ser perfekt ut :). Men varför tar dem inte rötten ur?

@tomast80: varför beräknar dem inte med den kvadratiska medelfelet (i din dokument)?:

 @Albiki: jepp, jag vet vad du menar. Naturen gav mig fördelar och nackdelar som jag avrundar konstant :)

• Det är meningslöst att studera $\sqrt{y_i-(m+kx_i)}$ eftersom det kan hända att $y_i-(m+kx_i)\leq0$.
• Man skulle kunna använda absolutbelopp $|y_i-(m+kx_i)|$ men det ger komplicerade beräkningar.
• Det är lönlöst att studera $y_i-(m+kx_i)$; summerar man dessa avvikelser så får man alltid resultatet noll eftersom linjen går genom punkten $(\bar{x},\bar{y})$.

       $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_i-(m+kx_i) = n\cdot\{\bar{y}-(m+k\bar{x})\} = 0.$