Minstakvadrat metod

Första sättet:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}0=b \\ 1=a+b \\ 1=2a+b \\ 1=3a+b \\ 2=4a+b \\ 2=5a+b \\ 2=6a+b\\ 2=7a+b \\ 3=8a+b \\ 3=9a+b \\ 3=10a+b\end{array}\right.~\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 2& 1\\ 3& 1\\ 4& 1\\ 5& 1\\ 6& 1\\ 7& 1\\ 8& 1\\ 9& 1\\ 10& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 3\\ 3\\ 3\end{array}\right] \end{gathered}$$

Andra sättet:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}0=-5a+b \\ 1=-4a+b \\ 1=-3a+b \\ 1=-2a+b \\ 2=-a+b \\ 2=b \\ 2=a+b \\ 2=2a+b\\ 3=3a+b \\ 3=4a+b \\ 3=5a+b\end{array}\right.~\left[\begin{array}{cc}-5& 1\\ -4& 1\\ -3& 1\\ -2& 1\\ -1& 1\\ 0& 1\\ 1& 1\\ 2& 1\\ 3& 1\\ 4& 1\\ 5& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 3\\ 3\\ 3\end{array}\right] \end{gathered}$$

Eftersom det andra sättet är annorlunda kan vi prova det först. ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}\stackrel{\rightharpoonup }{x}={\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}b$, så vi börjar med att beräkna ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}$, så att vi kan hitta dess invers:

$\left[\begin{array}{ccccccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ -5& -4& -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3& 4& 5\end{array}\right]·\left[\begin{array}{cc}-5& 1\\ -4& 1\\ -3& 1\\ -2& 1\\ -1& 1\\ 0& 1\\ 1& 1\\ 2& 1\\ 3& 1\\ 4& 1\\ 5& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 11\\ 110& 0\end{array}\right]$

Och det är någonstans här vi inser varför detta sätt är så mycket bekvämare. Ser du varför nollorna uppkommer?

EDIT: Min transponering blev fel, se dajas inlägg nedan. 

Jag uttryckte mig fel: det är inte det som är frågan direkt :p.

Jag har gjort uppgiften med substitution och fått diagonal matrisen $\left(\begin{array}{cc}110& 0\\ 0& 11\end{array}\right)$ (du skrev din transponat fel, ettor måste vara nere), så det stämmer att det ger lättare beräkningar.

Frågan är: kan man automatisera processen på något sätt för att hitta enklare beräkningar (=diagonal matriser) när vi har detta typ av uppgift?

dajamanté skrev:

Jag uttryckte mig fel: det är inte det som är frågan direkt :p.

Jag har gjort uppgiften med substitution och fått diagonal matrisen $\left(\begin{array}{cc}110& 0\\ 0& 11\end{array}\right)$ (du skrev din transponat fel, ettor måste vara nere), 

Frågan är: kan man automatisera processen på något sätt för att hitta enklare beräkningar (=diagonal matriser) när vi har detta typ av uppgift?

För de flesta linjära samband borde det gå att göra en sådan substitution att du får lika (eller nästan lika) höga siffror på båda sidor av nollorna, så att säga. Om du har t = 1, 2, 3 och 4, sätt att b = t - 2. Då får du att b = -1, 0, 1, 2, varav endast tvåan kommer att "räknas". Om du har ett udda antal mätvärden (och dessa följer något linjärt mönster) kan du få ned alltsammans till noll, som i detta fall.

Analystkatt gillar din analys!