Minsta värde av fjärdegradspolynom

Hej!

Sitter och gör lite inledande matematik inför högskolestudier men har fastnat på en uppgift där jag och min kompis båda inte fattar hur vi ska lösa denna uppgift.

Bestäm minsta värde:

$x^{4} + 8 x^{2} + 1 K v a d r a t k o m p l e t t e r i n g g e r : {(x^{2} + 4)}^{2} + 1 - 16 = {(x^{2} + 4)}^{2} - 15 - 15 ä r m i n s t a v ä r d e o c h d e t s k e r n ä r k v a d r a t e n b l i r n o l l, d v s x^{2} + 4 = 0 x^{2} = - 4 x = \pm \sqrt{- 4} x = \pm 2 i L ä g s t a v ä r d e v i d k o r d i n a t e r n a : (2 i; - 15) (- 2 i; - 15)$

Så har jag löst tidigare uppgifter (A,B,C, detta är D uppgiften). Uppgiften C löste jag via detta sättet och det gick

$x^{4} - 8 x^{2} + 1 K v a d r a t k o m p l e t t e r i n g g e r : {(x^{2} - 4)}^{2} + 1 - 16 = {(x^{2} + 4)}^{2} - 15 - 15 ä r m i n s t a v ä r d e o c h d e t s k e r n ä r k v a d r a t e n b l i r n o l l, d v s x^{2} + - = 0 x^{2} = 4 x = \pm \sqrt{4} x = \pm 2 L ä g s t a v ä r d e v i d k o r d i n a t e r n a : (2; - 15) {(- 2; - 15)}_{} v i l k e t ä r r ä t t e n l i g t f a c i t$

Vad gör jag för fel på uppgiften?

X²+4 >=4 för alla reella x. Dess kvadrat är då >=16 och hela det kvadratkompletterade uttrycket >=16+….

16-15=1. Det ser inte ut som att man ska bestämm minimipunkterna utan enbart uttryckets minsta värde. Komplexa x-värden är inte intressanta här.

Hur skulle du enligt din logik löst den andra av uppgifter jag skrev? x^4-8x^2+1?

Har lite svårt att förstå vad du får 16 ifrån...

Är det du menar att eftersom x aldrig kan vara mindre än 0 så blir det minsta värde i kvadraten (0+4)^2=16. Det ger

16-15 = 1?

Jansson skrev:
Är det du menar att eftersom x aldrig kan vara mindre än 0 så blir det minsta värde i kvadraten (0+4)^2=16. Det ger

16-15 = 1?

Just så. Om x är 0 blir y lika med 1. Detta är uttrycket minsta värde.

x är inte nedåt begränsad till 0. f är ju definierad på hela axeln. Det är för att det står x²inom den kvadrat du skapat genom kvadratkomplettering och x²>=0. Ang komplexa x (osannolikt att man menar det) så skulle f i så fall vara en begränsad hel analytisk fkn, vilket skulle strida mot Liouvilles sats.

Ang om det skulle stå -8x²: Din kvadratkomplettering är rätt men raden som följer stämmer inte. Minsta värdet är dock detsamma. Det antas bara i en annan punkt. (Två olika fkner kan ju ha samma minsta värde).

Svara

Visa senaste svar