Minsta värde

Varför skulle inte $f\left(t\right) = \frac{4t^2+9}{t}$ kunna bli positivt?

Eftersom 0 < x < pi så är sin(x) > 0 i intervallet. Alltså är t = x*sin(x) > 0 i intervallet och därmed är  även (4t^2 + 9)/t > 0 i intervallet.

Menar du kanske att uttrycket inte kan bli negativt i intervallet?

Choklad är gott.

Jo jag menade negativ såklart. Choklad har inte hjälpt mig :(

Hej!

Du vill finna det minsta värde som funktionen kan anta.

    $\displaystyle f(x) = \frac{4x^2\sin^2 x + 9}{x\sin x}$ där $0 < x < \pi$.

Funktionsuttrycket kan förenklas

    $\displaystyle f(x) = 4x\sin x + \frac{9}{x\sin x}$

vilket visar att det är en sammansatt funktion,

$\displaystyle f(x) = h(g(x)) = 4g(x) + \frac{9}{g(x)}$

där funktionen $g(x) = x\sin x$ och $0 < x < \pi$. På intervallet $[0,\pi]$ är sinusfunktionen positiv, vilket betyder att funktionen $g$ är positiv; det är därför möjligt att beräkna kvadratroten $\sqrt{g(x)}$ och den sammansatta funktionen kan skrivas

    $\displaystyle h(g(x)) = (2\sqrt{g(x)})^2 + (\frac{3}{\sqrt{g(x)}})^2.$

Med hjälp av Kvadreringsregeln $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ kan den sammansatta funktionen skrivas

    $\displaystyle h(g(x)) = (2\sqrt{g(x)} - \frac{3}{\sqrt{g(x)}})^2 + 2\cdot 2\sqrt{g(x)} \cdot \frac{3}{\sqrt{g(x)}} \geq 12,$

med likhet precis då

    $2\sqrt{g(x)} - \frac{3}{\sqrt{g(x)}} = 0.$

Du ser att funktionen $f(x)$ antar sitt minsta värde $12$ och att detta antas för de $x$-värden som uppfyller ekvationen $g(x) = \frac{3}{2}$, det vill säga

    $x\sin x = 1.5$

Du vill finna alla tal $0 < x < \pi$ som är sådana att $x\sin x = 1.5$; denna icke-linjära ekvation har inga exakta lösningar, utan du får nöja dig med approximativa $x$-värden.

Albiki

Tack Alibiki,

Det var lite svårt, måste tänka!!

Jag förstådd inte ens hur 12 dök up med kvadrateringsregel!

Om du följer rådet från ditt facit att kalla xsinx för t, så får du f(t) = 4t + 9/t. Derivera och sätt derivatan lika med 0, så får du fram att t = 3/2 (eller -3/2, men det hamnar utanför intervallet). Sätt in t = 3/2 så får du 12 (de frågade bara efterdet minsta värdet, inte vilket x-värde som ger det!).

Hej Daja!

Beräkningarna visar att

    $h(g(x)) = (\text{Ett tal})^2 + 2\cdot 2\cdot 3.$

Eftersom en kvadrat alltid är större än (eller lika med) noll, och $2\cdot 2\cdot 3 = 12$ så följer det att $h(g(x)) \geq 12$. 

Albiki

smaragdalena skrev :

Om du följer rådet från ditt facit att kalla xsinx för t, så får du f(t) = 4t + 9/t. Derivera och sätt derivatan lika med 0, så får du fram att t = 3/2 (eller -3/2, men det hamnar utanför intervallet). Sätt in t = 3/2 så får du 12 (de frågade bara efterdet minsta värdet, inte vilket x-värde som ger det!).

Jo, jag tror jag blev nog förvirrad av jätte talen...