Minsta och största värde med Bolzano Weierstrass

Jag fortsätter här, jag hittade en identisk förklaring på wikipedia:

(bifogar länk eftersom kvalitén är dålig: https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem#Proving_the_theorems)

här säger dom att delföljden konvergerar mot ett d, men hur kan vi vara säkra på att det d som delföljden konvergerar mot ger att f(d) = M?

Det gemensamma tankesättet verkar vara att delföljden konvergerar mot det ("huvud-") talföljden konvergerar mot, men B-W säger ju inget om det...? 

Det är något jag verkar missa om satsen?

Hej,

Det gäller att följden $f(x_{k_j})$ konvergerar mot samma tal $f(\xi)$ som följden $f(x_k)$, eftersom $f$ är en kontinuerlig funktion. 

Albiki skrev:

Hej,

Det gäller att följden $f(x_{k_j})$ konvergerar mot samma tal $f(\xi)$ som följden $f(x_k)$, eftersom $f$ är en kontinuerlig funktion. 

Hmm, jag är osäker om jag förstår, jag vet inte om koninuiteten är det jag har problem med (kanske?), det jag inte fattar är varför du kan säga att $f(x_{k_j})$ konvergerar mot samma tal som $f(x_k)$. B-W säger att delföljden konvergerar men inte mot vad? Hur drar du slutsatsen att delföljden konvergerar mot ξ? Om det är på grund av kontinuitet så förstår jag inte det, kan du utveckla resonemanget?

Delföljden $x_{k_j}$ konvergerar mot något; detta något döps till $\xi.$ Kontinuiteten ger att följden $f(x_{k_j})$ konvergerar mot $f(\xi).$ Följden $f(x_{k_j})$ är en delföljd till $f(x_k),$ som i sin tur konvergerar mot $M.$ Då måste även delföljden $f(x_{k_j})$ konvergera mot $M.$

Om $M \neq f(\xi)$ så är $\epsilon \equiv |M-f(\xi)| > 0$ och

    $\epsilon = |M-f(\xi)|\leq |M-f(x_n)|+|f(x_n)-f(\xi)|<0.5\epsilon + 0.5\epsilon$ om $n$ är tillräckligt stort;

med andra ord är $\epsilon < \epsilon$ vilket är omöjligt.