Minsta möjliga pappersark. Vad blir längden?

Jag har kört fast på följande:

Bestäm längden på det minsta möjliga pappersark som fyller kraven:
Man ska skära till ett rektangulärt skrivpapper med mått enligt figur. Marginalerna är 2 cm uppe och nere samt 3 cm på vardera sidan.

X = Längden på pappret. Vilket man frågar efter.
Y = Bredden på pappret.
Skrivytan definierar jag (X - 4)(Y - 6) = 216
Jag löser ut Y.

$Y = \frac{216}{(X - 4)} + 6$

A = Hela arkets yta. A = X * Y
Jag sätter in värdet av Y från ovan.

$A = X \times (\frac{216}{X - 4} + 6)$ och efter bearbetning får:

A = $\frac{192 X + 6 X^{2}}{(X - 4)}$

Här tar det stopp för mig. Jag har provat att derivera för att se en minimipunkt och kom fram till X = 16, men det ska bli X = 24.

Jag provade också att sätta X = Y och startade med (X - 4) (X - 6) och kom till X $\approx$ 19,7

Uppgiften verkar lätt, men som sagt jag har kört fast.

Du har kommit fram till att (x-4)(y-6) = 216.

Vad är det du vill veta? minimum av x (som funktion av y)

Vad skall du lösa ut?

X=16 -> Y=24 -> S=12*18=216 och A=384

X=24 -> Y=16.8 -> S=20*10.8=216 och A=403.2

> men det ska bli X = 24

Det verkar vara fel. Totalytan är nämligen större med X=24. Har vi någonstans förväxlat X med Y ?

Smaragdalena, "Bestäm längden på det minsta möjliga pappersark som fyller kraven" är texten i läroboken. "Skrivytan ska vara 216 $c m^{2}$ och marginalerna uppe och nere 2 cm breda samt sidomarginalerna ska vara 3 cm" Det är kraven.
Taylor och Smaragdalena. Det är jag som definierat längden som X och bredden som Y och ja min tanke var att få ut minsta möjliga ark genom att sätta ihop två formler enligt tidigare övningsuppgifter i boken.

Då skulle jag rekommendera att du definierar om så att längden är y och bredden är x. Det är betydligt vanligare att man beräknar y som en funktion av x än tvärtom.

Då får vi istället (x-6)(y-4) = 216. Lös ut y(x), derivera och sätt derivatan lika med 0, beräkna x, sätt in och beräkna y.

Jag är inte riktigt med på hur du menar. Ska jag använda arean som jag gjort ovan och sätta in y-värdet där?

Deriveringen blir så konstig för mig med (X-6) i nämnaren, men jag kanske har hamnat helt fel.

Ett litet förtydligande att svaret ska bli 24 cm kommer från facit och är inget vi känner till.

Oj, jag märker att jag har tolkat uppgiften fel. Ursäkta!

Då tar jag ett par steg tillbaka. Då skulle jag sätta skrivytans bredd till $b$ , skrivytans längd till $l$ . I så fall gäller det att $b \cdot l = 216$ och $b = 216/l$ . Papprets yta är $(b+6)(l+4)$ och det är den som man skall beräkna det minsta värdet för.

Vi får alltså att $A(l) = (l+4)(216/l + 6)$ och vi slipper alla krångliga nämnare.("Kostnaden" är att vi måste addera med 4 på slutet, men det känns billigt!) Beräkna $A'(l)$ , sätt derivatan = 0, beräkna $l$ . Svaret på frågan är $l+4$ .

Ja inte så fel. Det gick att göra på bägge sätten, men lite konstigt blir det för mig. På bägge svaren får jag minus på X, men rätt siffror, -24 i "mitt fall" och -20 på "ditt sätt" om du ursäktar benämningarna.
Uppställningarna innan derivering ser ut så här:

Fall 1: $A (X) = \frac{192 X + 4 X^{2}}{X - 6}$ Då deriverar jag täljaren och får 192+8X=0 $\Rightarrow$ X=-24

Fall 2: $A (l) = \frac{240 l + 6 l^{2} + 864}{l}$ Då deriverar jag täljaren och får $240 + 12 l = 0$ $\Rightarrow$ $l = - 20$

Så två frågor: 1) Kan jag derivera bara täljaren? 2) Varör får jag minus?

Förenkla fall 2 innan du deriverar, så får du ett enklare uttryck.

I Ma4 lär du dig att derivera kvoten mellan två uttryck. Då får du förklaringen till minustecknet.

Ja jag kom just fram till det i fall1, men ännu inte i fall 2. Jag repeterar gymnasiematten, men det är snart 50 år sedan jag gjorde den så det tar sin tid.

Tack snälla för hjälpen, jag har kämpat länge med detta. Problemet var att det såg så lätt ut.

Svara

Visa senaste svar