Minsta möjliga area

Skriv arean som en funktion av bredden $x$:

$A(x)$ och minimera sedan denna.

matte249 skrev :

Hej!

Fodralet till en chokladask har formen av ett rätblock som är öppet i vardera ändan. Askens volym är 3,0 liter och dess längd är 1.5 gånger dess bredd. Vilken är minsta möjliga area för fodralet?

 

volymen är alltså 3dm³ och längderna är 1.5x och bredden är x

alltså 1.5x * x * höjden = 3000cm²

Hur börjar jag att tänka för att lösa uppgiften?

Har du verkligen sktivit av uppgiften ord för ord? Finns det någon bild som visar vilka sidor av rätblocket som är borta? Om det inte står något om höjden alls så får du helt enkelt ansätta höjden $h$ precis som du har gjort. Det ger dig ett samband mellan $h$ och $x$. Men räkna i $dm$ och $dm^3$ (inte i $cm$ och $cm^3$).

Rita en figur!

Det finns flera möjliga utseenden, beroende på vilka sidor av rätblocket som saknas.

För varje möjligt utseende får du i så fall lösa problemet separat.

Gemensamt är att  $1,5x\cdot x\cdot h=3$, vilket ger att $h=\frac{2}{x^2}$.

Sätt nu upp ett uttryck för arean $A$ som funktion av $x$, dvs $A=A(x)$.

Arean består av 4 av rätblockets 6 sidor och är alltså olika beroende på vilka sidor som saknas.

Hitta minsta möjliga värde på arean genom att derivera $A(x)$, sätta derivatan lika med 0 och så vidare.

Tack för svar! Ja uppgiften är skriven ord för ord.

Jag förstår att 1.5x * x * h = 3 men inte hur man får det till h = 2/(x^2)

Inte heller hur man ställer upp en ekvation på denna information 

matte249 skrev :

Tack för svar! Ja uppgiften är skriven ord för ord.

Jag förstår att 1.5x * x * h = 3 men inte hur man får det till h = 2/(x^2)

 

Inte heller hur man ställer upp en ekvation på denna information 

Det är vanlig ekvationslösning

1,5x*x*h = 3 

Dividera båda sidor med 1,5:

(1,5x*x*h)/1,5 = 3/1,5

Förenkla:

x*x*h = 2

x^2*h = 2

Dividera med x^2:

x^2*h/x^2 = 2/x^2

Förenkla:

h = 2/x^2

Ok jag förstår

Om jag deriverar 1.5x * x * (2/x²) = 3 

-->  1.5 * 1 *(2/x²) = 3

(2/x²) måste alltså vara 2

alltså är längd = 1.5dm

bredd 1dm

höjd 2dm

Men borde inte minsta möjliga area för rätblocket vara ett gränsvärde där x -> 0 och h -> oändligheten?

matte249 skrev :

Ok jag förstår

Om jag deriverar 1.5x * x * (2/x²) = 3 

-->  1.5 * 1 *(2/x²) = 3

(2/x²) måste alltså vara 2

alltså är längd = 1.5dm

bredd 1dm

höjd 2dm

 

Men borde inte minsta möjliga area för rätblocket vara ett gränsvärde där x -> 0 och h -> oändligheten?

Nej nu har du deriverat uttrycket för volymen.

Du ska ställa upp ett uttryck för begränsningsytornas sammanlagda area.

Det är detta uttryck du ska minimera.

Har du ritat en figur?