minsta heltal större än ln 60?

Man bör veta att e ≈ 2,7

Då kan man börja med den grova approximationen e ≈ 3. Huvudräkning ger:

$$\begin{gathered} 3^2=9 \\ {3}^3=27 \\ {3}^4=81 \\ {3}^5=243 \end{gathered}$$

Då ser man att det är mycket sannolikt att $2,7^5>60$ och att det är säkert att $2,7^3<60$. På så sätt vet man att svaren bara kan vara 4 eller 5.

Sedan kan man med uppställning beräkna 2,7*2,7 = 7,29 Sedan approximerar man 7,29 ≈ 7,3 och beräknar 7,3*7,3 = 53,29 med uppställning. Då har man $2,7^4\approx 53$ och vet att 4 är för lite. Svaret blir 5.

Talet $e$ ligger mellan 2 och 3, betydligt närmare 3. 3³=27 och 3⁴=81 så vi vet säkert att e³<27 och e⁴<81, men detta visar inte att e⁴>60. 

$e\approx2,7=\frac{27}{10}$ så e⁴ är 3¹²/1000 = 53 ungefär, så det verkar osannolikt att det rätta värdet skulle vara så mycket större att det kommer över 60.

Så jag skulle svara att det minsta heltal som är större än ln 60 är 5.

Hej!

Då det handlar om den naturliga logaritmfunktionen som har talet $e$ som bas gäller det att jämföra talet $60$ med olika potenser av talet $e$.

Om man kan finna ett positivt heltal $n$ sådant att $e^{n} < 60 < e^{n+1}$ så följer det att

    $\ln e^{n} < \ln 60 < \ln e^{n+1} \iff n\ln e < \ln 60 < (n+1)\ln 3 \iff n < \ln 60 < n+1,$ eftersom $\ln e =1.$ 

Talet $e$ har oändligt många decimaler men en grov uppskattning är $2 < e < 3$, vilket betyder att det gäller att finna ett positivt heltal $n$ sådant att $2^{n} < 60 < 3^{n}$ och sedan fundera över om $2^{n} < 60 < e^{n}$ eller om $e^{n+1} < 60 < 3^{n}$, för då har man hamnat fel; det är ju önskvärt att $n$ är sådant att $e^{n} < 60 < e^{n+1}.$

• Väljer man $n=4$ fås $2^{4} = 16$ och $3^{4} = 81$ (avstånden till 60 är  44 respektive 21) vilket skulle kunna vara aktuellt.
• Väljer man $n=5$ fås $2^{5} = 32$ och $3^{5} = 243$ (avstånden till 60 är 28 respektive 183) vilket är litet bättre.
• Medan väljer man $n=6$ får man $2^6 = 64$ och $3^{6} = 729$ vilket inte begränsar talet $60$. 

Valet står alltså mellan heltalen $n=4$ och $n=5$, så det gäller att undersöka om

    $e^{4} < 60 < e^{5}$ eller om $e^{5} < 60 < e^{6}.$

En bättre lokalisering av talet $e$ är via olikheten $2<e < 2.8$ och att skriva $2.8=2+0.8$ varför Binomialsatsen ger

    $(2+0.8)^4 = 2^4 + 4\cdot 2^{3}\cdot 0.8 + 6 \cdot 2^{2}\cdot 0.8^2 + 4 \cdot 2^1\cdot 0.8^3 + 0.8^4 = 16 + 32\cdot 0.8 + 24\cdot 0.64 + 8\cdot 0.512 + 0.4096 = 56.96 + 4.096 + 0.4096 = 61.056+0.4096.$

Det gäller alltså att $2^4 < e^4 < 62$ så i valet mellan de två fallen $e^{4} < 60 < e^{5}$ eller $e^{5} < 60 < e^{6}$ vinner det första fallet och du kan konstatera att

    $4 < \ln 60 < 5.$