Minsta begränsningsarea

Välkommen till Pluggakuten! Hur har du försökt själv? 

Absolut, annars skulle jag inte frågat. Får radien att bli negativ, vilket inte är möjligt.

Mantelarea = 2πr*h + 2πr^2

Volymen är 1L ger 1000cm^3

Då blir höjden 500/πr^2

Jag gjorde en funktion till mantelarean: f(r) = 2πr*h + 2πr^2

Ger derivan efter substitution av h mot 500/πr^2:

1000π/πr^2+4πr

Söker punkten där derivatan är 0 ger:

1000π/πr^2+4πr = 0 och

r^3 = -250/π

Men radien kan ju inte vara negativ, jag har ingen aning om vad som gått fel.

Då blir höjden 500/πr^2

Hur kom du fram till det?

Volymen var 1L = 1000cm^3 ger:

2πr^2*h = 1000 och h = 1000/2πr^2 = 500/πr^2

Dessutom har du deriverat fel, derivatan av 1/r är vad?

Oj, -r^-2 Såg inte det, tack!

Porkshop skrev:

Volymen var 1L = 1000cm^3 ger:

2πr^2*h = 1000 och h = 1000/2πr^2 = 500/πr^2

 Varifrån får du tvåan?

Oj, jag måste ha räknat med tvåan från mantelareaformeln där man räknade med 2 bottenareor. Haha, tack så mycket! :)

Porkshop skrev:

Absolut, annars skulle jag inte frågat. Får radien att bli negativ, vilket inte är möjligt.

Mantelarea = 2πr*h + 2πr^2

Volymen är 1L ger 1000cm^3

Formeln för cylinderns begränsningsarea stämmer, om $r$ betecknar cylinderns radie och $h$ betecknar cylinderns höjd. Det stämmer också att 1 liter är samma sak som 1000 kubikcentimeter.

Då blir höjden 500/πr^2

Cylinderns volym ($V$) beräknas med formeln

    $\displaystyle V = \pi r^2 \cdot h$

så höjden bestäms av cylinderns radie enligt 

    $\displaystyle h = \frac{V}{\pi r^2}.$

Jag gjorde en funktion till mantelarean: f(r) = 2πr*h + 2πr^2

Det stämmer att när volymen är konstant så är cylinderns begränsningsarea en funktion av cylinderns radie.

Ger derivan efter substitution av h mot 500/πr^2:

När du sätter i uttrycket för cylinderns höjd får du funktionen

    $\displaystyle f(r) =\frac{2V}{r} + 2\pi r^2$ 

och funktionens derivata är lika med

    $\displaystyle f'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = \frac{4\pi r^3-2V}{r^2}.$

1000π/πr^2+4πr

Söker punkten där derivatan är 0 ger:

Derivatan är lika med noll när radien uppfyller ekvationen $4\pi r^3 -2V = 0,$ det vill säga när

    $\displaystyle r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \approx 5,4 \text{ centimeter.}$

1000π/πr^2+4πr = 0 och

r^3 = -250/π

Men radien kan ju inte vara negativ, jag har ingen aning om vad som gått fel.

Tack, men jag lyckades lösa uppgiften i går. Jag hade råkat använda en del av mantelareans formel istället för formeln för cirklens area. Jag hade också deriverat fel.

En tilläggsfråga: är denna uppgift ekvivalent med att maximera volymen för en cylinder, givet en fix begränsningsarea? Vad blir i så fall relationen mellan höjden och radien i cylindern?