Minsta begränsningsarea
Vilken radie ger en cylinder minst begränsningsarea om volymen är en liter.
Välkommen till Pluggakuten! Hur har du försökt själv?
Absolut, annars skulle jag inte frågat. Får radien att bli negativ, vilket inte är möjligt.
Mantelarea = 2πr*h + 2πr^2
Volymen är 1L ger 1000cm^3
Då blir höjden 500/πr^2
Jag gjorde en funktion till mantelarean: f(r) = 2πr*h + 2πr^2
Ger derivan efter substitution av h mot 500/πr^2:
1000π/πr^2+4πr
Söker punkten där derivatan är 0 ger:
1000π/πr^2+4πr = 0 och
r^3 = -250/π
Men radien kan ju inte vara negativ, jag har ingen aning om vad som gått fel.
Då blir höjden 500/πr^2
Hur kom du fram till det?
Volymen var 1L = 1000cm^3 ger:
2πr^2*h = 1000 och h = 1000/2πr^2 = 500/πr^2
Dessutom har du deriverat fel, derivatan av 1/r är vad?
Oj, -r^-2 Såg inte det, tack!
Porkshop skrev:Volymen var 1L = 1000cm^3 ger:
2πr^2*h = 1000 och h = 1000/2πr^2 = 500/πr^2
Varifrån får du tvåan?
Oj, jag måste ha räknat med tvåan från mantelareaformeln där man räknade med 2 bottenareor. Haha, tack så mycket! :)
Porkshop skrev:Absolut, annars skulle jag inte frågat. Får radien att bli negativ, vilket inte är möjligt.
Mantelarea = 2πr*h + 2πr^2
Volymen är 1L ger 1000cm^3
Formeln för cylinderns begränsningsarea stämmer, om betecknar cylinderns radie och betecknar cylinderns höjd. Det stämmer också att 1 liter är samma sak som 1000 kubikcentimeter.
Då blir höjden 500/πr^2
Cylinderns volym () beräknas med formeln
så höjden bestäms av cylinderns radie enligt
Jag gjorde en funktion till mantelarean: f(r) = 2πr*h + 2πr^2
Det stämmer att när volymen är konstant så är cylinderns begränsningsarea en funktion av cylinderns radie.
Ger derivan efter substitution av h mot 500/πr^2:
När du sätter i uttrycket för cylinderns höjd får du funktionen
och funktionens derivata är lika med
1000π/πr^2+4πr
Söker punkten där derivatan är 0 ger:
Derivatan är lika med noll när radien uppfyller ekvationen det vill säga när
1000π/πr^2+4πr = 0 och
r^3 = -250/π
Men radien kan ju inte vara negativ, jag har ingen aning om vad som gått fel.
Tack, men jag lyckades lösa uppgiften i går. Jag hade råkat använda en del av mantelareans formel istället för formeln för cirklens area. Jag hade också deriverat fel.
En tilläggsfråga: är denna uppgift ekvivalent med att maximera volymen för en cylinder, givet en fix begränsningsarea? Vad blir i så fall relationen mellan höjden och radien i cylindern?