Minsta avstånd mellan två parallella linjer i r3

Lägg in ett foto på frågan.

Ja, tack, då förstår jag lite bättre vad du försöker göra.

Jag börjar med att avända punkten A=(-3,0,0)

En bra start. Här har du valt en punkt A på L₂. Sen förstår jag inte mer. Varifrån får du vektorn (1,2,2) och vad är B för en punkt och varför kommer du till den för t=1? Punkten (-2,2,2) ligger varken på L₁ eller L₂ (testa att sätta in de koordinaterna i ekvationerna för linjerna - ingen ekvation kommer att stämma) Det kanske besvarar varför det blir fel.

Om jag får gissa lite vart åt du ville, så kanske du tänkte dig att (1,2,2) skulle vara en riktningsvektor för de 2 linjerna. Det är den inte. Hur plockar man fram en korrekt riktningsvektor?

Peter skrev:

Ja, tack, då förstår jag lite bättre vad du försöker göra.

Jag börjar med att avända punkten A=(-3,0,0)

En bra start. Här har du valt en punkt A på L₂. Sen förstår jag inte mer. Varifrån får du vektorn (1,2,2) och vad är B för en punkt och varför kommer du till den för t=1? Punkten (-2,2,2) ligger varken på L₁ eller L₂ (testa att sätta in de koordinaterna i ekvationerna för linjerna - ingen ekvation kommer att stämma) Det kanske besvarar varför det blir fel.

Om jag får gissa lite vart åt du ville, så kanske du tänkte dig att (1,2,2) skulle vara en riktningsvektor för de 2 linjerna. Det är den inte. Hur plockar man fram en korrekt riktningsvektor?

(1,2,2) är riktningsvektorn för de två linjerna.

Tror jag löste den 

Eftersom man arbetar med distans får man ej förlänga riktningsvektorn den ska vara det samma. 

$$\begin{gathered} AC = (0,0,0) - (\frac{1}{2}, 1,1) \\ BC = (-\frac{3}{2},0,0) + t(\frac{1}{2},1,1) - (\frac{1}{2},1,1) \\ AC\times BC =0 \\ Får ut t=\frac{4}{3} \\ sätter in värdet av t i BC\hspace{0.17em} \\ Räknar sedan ut xyz för att sedan räkna ut dis\tan sen \\ Får \frac{1}{3}\sqrt{18} =\hspace{0.17em}\frac{1}{3}\sqrt{2*9} \\ som kan förkortas till \sqrt{2} \end{gathered}$$

Ser det korrekt ut?

Linjernas ekvation:

L1:

y = 2x = z
y = 2x = z =t

2x=t
y=t
z=t

 $$\begin{gathered} (2x_1, y_1, z_1)=(t,t,t) \\ ⋮ \\ (x_1, y_1, z_1)=(t/2,t,t)=t(1/2,1,1)=t(1,2,2) \\ (x_1, y_1, z_1)=t(1,2,2) \end{gathered}$$

L2:

y=2x+3=z

y=2x+3=z=t

2x+3=t
y=t
z=t

$$\begin{gathered} (2x_2+3, y_2, z_2)=(t,t,t) \\ ⋮ \\ (x_2, y_2, z_2)=(\frac{t-3}{2},t,t)=(\frac{t}{2}-\frac{3}{2},t,t)=t(1/2,1,1)+(-3/2,0,0) \\ (x_2, y_2, z_2)=t(1,2,2)+(-3/2,0,0) \end{gathered}$$

Två punkter på linjerna väljs nu ut på måfå

Punkten A på L1 = (0,0,0)
Punkten B på L2 = (-3/2,0,0)

Enligt figuren:

Vektorn u skapas:

u=OB-OA=(-3/2,0,0)-(0,0,0)=(-3/2,0,0)

u' fås genom att u projiceras ortogonalt på L1:s riktning:

$$\begin{gathered} \mathit{u}\text{'}=\frac{\mathit{u}·\mathit{v}}{{\left|\mathit{v}\right|}^2}\mathit{v}=\frac{(-3/2,0,0)·(1,2,2)}{{\left|1,2,2\right|}^2}(1,2,2)=\frac{-3/2}{9}(1,2,2) \\ \mathit{u}\text{'}=\frac{-3/2}{9}(1,2,2)=-(\frac{3/2}{9},\frac{3}{9},\frac{3}{9})=-(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{3}) \end{gathered}$$

Vektorn BC enligt triangeln ovan:

BC=-u+u'

BC=-(-3/2,0,0)-(1/6, 1/3, 1/3)=(8/6, -1/3, -1/3)=(4/3, -1/3, -1/3)

Längden av BC:

|BC|=$\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(\frac{-1}{3}\right)}^2{+\left(\frac{-1}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{18}{9}}=\sqrt{2}$

Tack för en utförlig redovisning av uppgiften, ska kolla på den ikväll! Men som jag har förstått det är det möjligt att räkna ut uppgiften med hjälp av olika metoder.  Du använder dig av projecering medans jag använder mig av kryssprodukten för att få ut punkten som skär linjen. 

Ange gärna koordinaterna för A, B, och C samt vad L1 och L2 är i ditt senaste förslag . AC och BC verkar inte hänga ihop med figuren du har ritat.

Hoppla såg att jag skrev fel menade AB inte AC

Hubble skrev:

Hoppla såg att jag skrev fel menade AB inte AC

Det blev inte tydligare :( . Som sagt ange koordinaterna A B och C samt ekvationerna för L1 och L2. När du har möjlighet så klart.

Oj, vad fel det kan bli ibland! Ledsen att jag rörde till det. Tack oneplusone2 för att du löste det här. Kul att du är nöjd Hubble!

oneplusone2 skrev:

Peter skrev:

Ja, tack, då förstår jag lite bättre vad du försöker göra.

Visa föregående citat

Jag börjar med att avända punkten A=(-3,0,0)

En bra start. Här har du valt en punkt A på L₂. Sen förstår jag inte mer. Varifrån får du vektorn (1,2,2) och vad är B för en punkt och varför kommer du till den för t=1? Punkten (-2,2,2) ligger varken på L₁ eller L₂ (testa att sätta in de koordinaterna i ekvationerna för linjerna - ingen ekvation kommer att stämma) Det kanske besvarar varför det blir fel.

Om jag får gissa lite vart åt du ville, så kanske du tänkte dig att (1,2,2) skulle vara en riktningsvektor för de 2 linjerna. Det är den inte. Hur plockar man fram en korrekt riktningsvektor?

(1,2,2) är riktningsvektorn för de två linjerna.

Tror -2,2,2 kallas för en slutpunkt på L2, enligt boken. Då (a,b,c) + t(a2,b2,c2) där vi har en punkt och en riktningsvektor.