8 svar

294 visningar

CarlHolm behöver inte mer hjälp

Minsta arean av en triangel

Hej!

Följande uppgift har jag kämpat med ett tag nu:
"Betrakta funktionen $f (x) = e^{\frac{1}{x}}, x > 0$ . För varje punkt på grafen $y = f (x)$ bildar tangenten genom punkten tillsammans med koordinataxlarna en triangel. Bestäm den minsta area som en sådan triangel kan ha. Finns det någon triangel med maximal area?

Jag har kommit en bit men har svårt att få till ett svar på vad den minsta arean kan vara.

Till att börja med har jag antagit att för ett godtyckligt $x = a > 0$ så har tangenten ekvationen $(x - a) f' (a) = y - f (a)$ . Genom att sätta $x = 0$ och $y = 0$ kan man få fram skärningspunkterna i y- & x-axeln, och detta blir då triangels höjd och bredd.

Det finns en lodrät asymptot i $x = 0$ och en vågrät asymptot i $y = 1$ . Den vågräta asymptoten antyder att arean för triangeln kan bli hur stor som helst då värdet på x kan bli hur stort som helst.

Tangenten kommer alltid att skära y-axeln i $y > 1$ och då får vi en triangel med oändlig bredd och en höjd > 1, vilket det med betyder att arean kan vara hur stor som helst.

Om vi deriverar funktionen $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ får vi $f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ , och vi kan fortsätta härifrån genom att sätta $x = 0$ och $y = 0$ .

$x = 0 \Rightarrow y = - a \times f' (a) + f (a) = a \times \frac{e^{\frac{1}{a}}}{a^{2}} + e^{\frac{1}{a}} = e^{\frac{1}{a}} (1 + \frac{1}{a})$

$y = 0 \Rightarrow x = - \frac{f (a)}{f' (a)} + a = \frac{\frac{- e^{\frac{1}{a}}}{- e^{\frac{1}{a}}}}{a^{2}} + a = a (1 + a)$

Den area som bildas av tangenten i $x = a$ och koordinataxlarna blir alltså $e^{\frac{1}{a}} \times (1 + \frac{1}{a}) \times \frac{a (1 + a)}{2} = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{a}}} \times {(1 + a)}^{2}$

Men nu vet jag inte hur jag ska fortsätta... Det är säkert något jättesimpelt som jag inte tänkt på, men om $a > 0$ så kommer denna areafunktion att anta ett större och större värde, korrekt? Men hur svarar jag på frågan om vad den minsta möjliga arean som triangeln kan ha?

Tacksam för all hjälp.

Har inte kollat dina uträkningar, men ditt uttryck för arean är ju en funktion som beror av a. Om du vill hitta det minsta värdet dennanma funktion kan anta så är det väl bara att derivera med avseende på a, sätta derivatan lika med 0 och så vidare?

Derivatan blir följande

$\frac{d}{d a} (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{a}}} \times {(1 + a)}^{2}) = \frac{(a + 1) (2 a^{2} + a + 1) e^{\frac{- 1}{a}}}{2 a^{2}}$

Om jag sedan sätter derivatan lika med 0 får jag att $a = - 1$ , vilket känns lite knasigt...

Hur fick du e^1/a under bråkstrecket? Det ska stå över bråkstrecket.

Du har gjort helt rätt i dina resonemang, fram till när du deriverade $d / d a$ . Exponenten ska vara positiv och de två sista termerna till höger i andragradsfaktorn ska byta tecken till negativt. Det ska bli

$\begin{array}{rcl} V' (a) & = \frac{d}{d a} = & \frac{e^{\frac{1}{a}} (a + 1) (2 a^{2} - a - 1)}{2 a^{2}} . \end{array}$

Derivatans nollställen får du genom att sätta alla tre faktorer i täljaren lika med noll och lösa för $a$ .

$\begin{matrix} e^{\frac{1}{a}} & = & 0 \Leftrightarrow a \in \emptyset \\ a + 1 & = & 0 \Leftrightarrow a \in \{- 1\} \\ 2 a^{2} - a - 1 & = & 0 \Leftrightarrow a \in \{- \frac{1}{2}, 1\} \end{matrix}$

med villkoret att $a > 0$ så kan du skrota de negativa rötterna. Kvar har du att den minimala arean erhålles i den punkt då $x = a = 1$ och ger en area på $V (1) = \frac{e^{\frac{1}{1}} {(1 + 1)}^{2}}{2} = \frac{4 e}{2} = 2 e$ a.e.

Oj, klantigt av mig. Nu förstår jag iallafall vad jag gjort fel!

Tack så mycket för hjälpen.

Hej!

Det stämmer att tangenten som nuddar grafen i punkten $(a,f(a))$ har ekvationen

$\displaystyle y - f(a) = f'(a)\cdot (x - a).$

Det stämmer också att triangeln i fråga har en bas som är $(a - \frac{f(a)}{f'(a)})$ enheter lång och en höjd som är $(f(a) - af'(a))$ enheter lång. Triangelns area är därför lika med

Error converting from LaTeX to MathML.

Om du bryter ut $f(a)$ från triangelns höjd så kan arean skrivas såhär.

$\displaystyle T(a) = 0.5 f(a)\cdot (a - \frac{f(a)}{f'(a)})\cdot (1 - a\frac{f'(a)}{f(a)})$ .

Om du deriverar funktionen $\log(f(a))$ med avseende på $a$ så får du kvoten $f'(a)/f(a).$ Med den givna funktionen $f(a)$ blir logaritmen $\log(f(a)) = 1/a$ , så kvoten blir lika med $f'(a)/f(a) = -1/a^2.$ Det ger triangelns area

$\displaystyle T(a) = 0.5 f(a) \cdot (a + a^2)(1+1/a) = 0.5f(a)\cdot(a^2 + 2a +1) = 0.5 f(a) \cdot(1+a)^2.$

Hej!

Triangelns area förändras med hastigheten $T'(a)$ när du varierar tangeringspunkten $(a,f(a)).$ Produktregeln ger derivatan

$\displaystyle T'(a) = f(a)(1+a) + 0.5f'(a)(1+a)^2.$

För att kunna avgöra derivatans tecken (och därmed funktionens $T$ beteende) kan derivatan faktoriseras.

$\displaystyle T'(a) = f(a)(1+a)\cdot(1+0.5\frac{f'(a)}{f(a)}(1+a)) = f(a)(1+a)(1-0.5\frac{1+a}{a^2}).$

Albiki

Hej!

Eftersom $f(a)$ och $(1+a)$ båda är positiva tal så ser du att triangelns area växer, så länge som

$\displaystyle 1-0.5\frac{1+a}{a^2}\geq 0$

det vill säga så länge som

$\displaystyle 0 \leq \frac{1+a}{a^2} \leq 2.$

Albiki

Svara

Visa senaste svar