Minst för n!

Talet måste innehålla faktorn 3^8, vilka heltal innehåller faktorn 3?

Midnattsmatte skrev:

Talet måste innehålla faktorn 3^8, vilka heltal innehåller faktorn 3?

3,6,9,12,15,18,21 o.s.v

3 innehåller faktorn 1 gång, detsamma gäller för 6, 9 innehåller det 2 gånger, 12 innehåller det 1 gång, 15 innehåller det 1 gång, 18 innehåller det 2 gånger. 18! innehåller därför faktorn 3^8 och svaret borde vara 18? Jag gjorde detta väldigt fort så kan eventuellt ha missat något, finns det facit?

Midnattsmatte skrev:

3 innehåller faktorn 1 gång, detsamma gäller för 6, 9 innehåller det 2 gånger, 12 innehåller det 1 gång, 15 innehåller det 1 gång, 18 innehåller det 2 gånger. 18! innehåller därför faktorn 3^8 och svaret borde vara 18? Jag gjorde detta väldigt fort så kan eventuellt ha missat något, finns det facit?

Vänta nu förstår jag inte riktigt, rätt svar är 18! Men 18=3*2 men hur kan det vara faktorn 3^8???

Hur fick du fram det så snabbt?

Borde deet inte vara 9! ?

Tricket är att primtalsfaktorisera alla heltal, du är bara intresserade av de tal som innehåller en faktor 3, dvs vart tredje tal:
Talet 3 innehåller faktorn 1 gång, dvs 3! är delbart med 3.

Eftersom nästa tal som innehåller faktorn 3 är 6, kommer 6! vara delbart med 3^2

Vi fortsätter i steg av 3 och kommer till 9=3^2, således kommer 9! vara delbart med 3^4

Fortsätter vi får vi att 12! kan delas med 3^5, 15! med 3^6 och slutligen 18! med 3^8.

Alltså: faktoriserar vi talen får vi att 3 = a*3 (a är en konstant)

På samma sätt: 6 = b*3, 9 = c*3^2, 12 = d*3, 15 = e*3, 18 = f*3^2 (bokstäverna är bara konstanter som inte innehåller faktorn 3)

Midnattsmatte skrev:

Tricket är att primtalsfaktorisera alla heltal, du är bara intresserade av de tal som innehåller en faktor 3, dvs vart tredje tal:
Talet 3 innehåller faktorn 1 gång, dvs 3! är delbart med 3.

Eftersom nästa tal som innehåller faktorn 3 är 6, kommer 6! vara delbart med 3^2

Vi fortsätter i steg av 3 och kommer till 9=3^2, således kommer 9! vara delbart med 3^4

Fortsätter vi får vi att 12! kan delas med 3^5, 15! med 3^6 och slutligen 18! med 3^8.

Så man måste tänka på att dubbelräkna i fakulteten men jag förstår inte helt den där fina resoneringen du hade. 

6! delbart med 3^2 för att 6 innehåller en 3:a och sedan en faktor 3

9 innehåller 4 faktorer av 3

Sedan kan man räkna faktorer av 3:or för varje?

Det första talet som innehåller en faktor 3 är uppenbarligen 3, nästa tal som innehåller en faktor 3 är 3*2 = 6, sedan fortsätter vi bara i steg av 3 och får att 9, 12, 15 osv också innehåller en faktor 3. (notera dock att 9 innehåller faktorn 3 TVÅ gånger, detsamma gäller för 18 då 18 = 2*9)

Nu kommer vi till fakulteten, jag tar talet 6 som exempel: 6! = 6*5*4*3*2*1, men vi vet att talet 6 OCH talet 3 innehåller en faktor 3, därmed kommer 6! innehålla en faktor 3^2.

Gör vi samma metod för 9! (där vi nu är medvetna om att 9 innehåller en faktor 3^2) får vi:

9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1, (i detta fall innehåller 3, 6 och 9 en faktor 3, men 9 innehåller faktorn 3 två gånger)

Alltså innehåller 9! faktorn 3^4.

Alltså: 6! är delbart med 3^2 för att om vi skriver ut 6! som produkten av 6 med alla heltal lägre än 6 (vilket är definitionen av 6!), så kommer två av dessa talen innehålla faktorn 3, vilket gör att 6! innehåller faktorn 3^2.

Talet 9 innehåller 2 faktorer av 3, vilket alltså gör att 9! innehåller faktorn 3^4 (på grund av resonemanget ovan)

Midnattsmatte skrev:

Det första talet som innehåller en faktor 3 är uppenbarligen 3, nästa tal som innehåller en faktor 3 är 3*2 = 6, sedan fortsätter vi bara i steg av 3 och får att 9, 12, 15 osv också innehåller en faktor 3. (notera dock att 9 innehåller faktorn 3 TVÅ gånger, detsamma gäller för 18 då 18 = 2*9)

Nu kommer vi till fakulteten, jag tar talet 6 som exempel: 6! = 6*5*4*3*2*1, men vi vet att talet 6 OCH talet 3 innehåller en faktor 3, därmed kommer 6! innehålla en faktor 3^2.

Gör vi samma metod för 9! (där vi nu är medvetna om att 9 innehåller en faktor 3^2) får vi:

9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1, (i detta fall innehåller 3, 6 och 9 en faktor 3, men 9 innehåller faktorn 3 två gånger)

Alltså innehåller 9! faktorn 3^4.

Alltså: 6! är delbart med 3^2 för att om vi skriver ut 6! som produkten av 6 med alla heltal lägre än 6 (vilket är definitionen av 6!), så kommer två av dessa talen innehålla faktorn 3, vilket gör att 6! innehåller faktorn 3^2.

Talet 9 innehåller 2 faktorer av 3, vilket alltså gör att 9! innehåller faktorn 3^4 (på grund av resonemanget ovan)

Aha okej då förstår jag, tack för hjälpen!