Minst en rot

Behöver hjälp med följande uppgift.

Låt f vara en kontinuerlig funktion på hela R. Anta att

$\lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} = 0$

Visa att ekvationen $f (x) + x = 0$ har en rot.

Jag skall alltså använda satsen om mellanliggande värden. Jag tänkte undersöka i intervallet $(- \infty, \infty)$ . Men då måste jag veta $\lim_{x \to \infty} f (x) + x$ och $\lim_{x \to - \infty} f (x) + x$ , men hur gör jag det?

Bara för att göra en intuitiv tolkning av vad gränsvärdena betyder så kan man se det som att dom innebär att

$|f(x)| << |x|$

då $x$ är långt ifrån 0. Detta betyder alltså att i $f(x) + x$ så är $x$ den dominerande termen då x är långt i från 0.

Så du har ju nu att

$\lim_{x \to \infty} (f (x) + x) = \lim_{x \to \infty} x (\frac{f (x)}{x} + 1) = \infty$

samma så går det andra gränsvärdet mot $-\infty$ . Kan du utnyttja detta?

0 ligger ju mellan oändligheterna, så då kan jag väl använda satsen för m.v. för att visa att det måste finnas åtminstone ett x i R så att funktionen har värdet 0. Men kan jag använda satsen för m.v. när det gäller öppna intervall? Måste det inte vara ett slutet intervall?

Du kan inte använda satsen rakt av. Utan man måste modifiera det lite. Eftersom du vet att

$f(x) + x \rightarrow \infty$ då $x \rightarrow \infty$ så vet du att det måste finnas något $x_0$ sådant att $f(x_0) + x_0 > 0$

då

$f(x) + x \rightarrow -\infty$ då $x \rightarrow -\infty$ så vet du att det måste finnas något $x_1$ sådant att $f(x_1) + x_1 < 0$

Alltså vet du att någonstans mellan $x_0$ och $x_1$ så existerar det en rot enligt satsen om mellanliggande värde.

Okej. Tack!

Svara

Visa senaste svar