Minkowskifunktional: Intuitiv tolkning?

Om $V$ är ett reellt vektorrum och $K$ är en av dess delmängder kan man definiera följande funktional $p_K$ på $V$ .

$p_K(v) = \inf \{\lambda > 0 : v \in \lambda K\}\ , \quad v \in V$

där mängden $\lambda K = \{\lambda k \in V : k \in K\}.$

Hur kan man tolka denna funktional intuitivt? Att läsa upp dess definition är en sak, men vad betyder den?
Vad säger funktionalen om mängden $K$ och vektorn $v$ i relation till varandra?

(Jag önskar inte länkar till Wikipedia eller liknande sidor, utan era egna personliga reflektioner.)

Gissar att det kan vara något som liknar avstånd mellan v och K?

Hur får du det till att vara ett slags avstånd mellan $v$ och $K$ ? Det är en intressant tanke särskilt med tanke på att det inte nödvändigtvis finns någon metrik på vektorrummet $V$ .

Vad kan man säga om $p_K(v)$ ifall $v \in K$ och om $v \in V \setminus K$ ?

Vet inte riktigt, men lambda är väl typ hur många "steg" bort från k som behövs, om man föreställer sig att det ligger i mitten.

Om v tillhör K så borde lambda vara mindre än/lika med 1?

Och om det ligger utanför så allt utom 1 kanske?

Ja, det är min tanke också; att $p_K(v)$ anger hur mycket $K$ behöver förstoras eller förminskas för att den just ska nå fram till punkten $v$ . Mängden $K$ verkar fungera som en slags mått-enhet på rummet $V$ , på samma sätt som centimeter-markeringar på en linjal.

Svara

Visa senaste svar