Minimum värde inte existerar
Jag har funktionen (x+2)/(x^2 +x +7)
Jag vett att intervallet är (-4,-2]
Nollställe är x=1 och x=-5
Jag behöver en bra förklaring på varför minimum värdet inte existerar. Jag hade en liknande uppgift men där båda nollställena var utanför intervallet men mini och maxi existerade ändå.
Hej.
Du menar väl att derivatans nollställen är vid x = 1 (maximipunkt) och x = -5 (minimipunkt)?
Om du gör en teckentabell så ser du att derivatan är positiv mellan dessa punkter, vilket betyder att funktionen är strängt växande där.
Det innebär i sin tur att funktionen är strängt växande i hela det givna intervallet och alltså att funktionsvärdet minskar mer och mer ju närmare den vänstra intervallgränsen vi kommer.
Nu är ju situationen sådan att x = -4 inte ingår i intervallet, vilket betyder att f(-4) inte heller ingår bland funktionens värden i intervallet.
Vi kommer hur nära som helst, men aldrig hela vägen fram. Därför finns det alltid, oavsett hur nära x = -4 vi än kommer, ett x-värde som ligger ännu närmare -4 och därmed ett funktionsvärde som.är ännu lägre.
Däremot finns det en undre begrönsning på funktionens värde, nämligen f(-4).
Vi kan skriva det som att f(x) > f(-4) oavsett vilket x-värde vi väljer i intervallet.
Antag att ett minimum existerar i punkten x. Eftersom x > -4, så finns det ett tal x' > 0 sådant att x - x' = -4. Tag då t.ex. medelvärdet m = x - x'/2. Detta uppfyller x > m > -4 (m ligger mitt emellan x och -4). Eftersom x > m och funktionen är är växande på t.ex. intervallet (-5,0) så är f(x) > f(m). Detta är en motsägelse, eftersom vi antog att f hade ett minsta värde i punkten x. Alltså kan funktionen inte ha ett minsta värde.
Man kan säga att eftersom intervallet är öppet vid sin nedre gräns, så kan vi alltid gå närmare och närmare gränsen och hitta lägre och lägre värden på en funktion som växer.
