minimipunkter

Använd nollprodukt metoden - om en produkt är lika med 0 så måste någon av faktorerna vara lika med 0.

Moffen skrev:

Använd nollprodukt metoden - om en produkt är lika med 0 så måste någon av faktorerna vara lika med 0.

Ja alltså skriver jag upp detta i Google så får jag fram -2 och 5. Men kan man räkna ut detta på något sätt? 

x^2 - 3x - 10 = 0

Detta är en andragradsekvation (matte2) vilken kan lösas t.ex med pq-formeln (matte2).

Testa du med pq-formeln. Visa ditt försök.

joculator skrev:

x^2 - 3x - 10 = 0

Detta är en andragradsekvation (matte2) vilken kan lösas t.ex med pq-formeln (matte2).

Testa du med pq-formeln. Visa ditt försök.

x= 1.5 ± 3.5

x1 = 5

x2 = -2

Ja, det stämmer!

På ett prov får du nog ta med mer av dina uträkningar, men det här är ju inte ett prov.

Glöm inte att x=0 är en lösning (som visades tidigare)

Alldeles riktigt.

Glöm inte det tredje nollstället $x_3=0$.

Yngve skrev:

Alldeles riktigt.

Glöm inte det tredje nollstället $x_3=0$.

Tack. Ska jag göra något mer eller är jag klar nu?

Nu vet du för vilka tre x-värden som derivatan är 0. Man vill att du skall ta reda på vilka av dessa värden som ger minimipunkter. Det har du inte gjort (än), så du är inte klar. Vet du hur du skall fortsätta?

Smaragdalena skrev:

Nu vet du för vilka tre x-värden som derivatan är 0. Man vill att du skall ta reda på vilka av dessa värden som ger minimipunkter. Det har du inte gjort (än), så du är inte klar. Vet du hur du skall fortsätta?

Gissar på att jag ska sätta in dessa x-värden i ursprungsekvationen, 

f'(0) = -40 -> mindre än noll, maxpunkt 0

f'(-2) = 56 -> större än noll, minimipunkt 0 

f'(5) = 140 -> större än noll, minimipunkt 0

Gissar på att jag ska sätta in dessa x-värden i ursprungsekvationen,

Ett utmärkt förslag!

f'(0) = -40 -> mindre än noll, maxpunkt 0
f'(-2) = 56 -> större än noll, minimipunkt 0
f'(5) = 140 -> större än noll, minimipunkt 0

Här är det lite svårt att förstå vad du gör - du gör i alla fall inte det du skriver att du gör. Du har ju just kommit fram till att f'(x)=0 i de tre punkterna, så det kan inte vara -40, 56 eller 140 samtidigt. Förmodligen har du räknat ut f(x) i de tre punkterna. Sedan tror jag att du har blandat ihop det med tecknet för andraderivatan, som man kan använda för att ta reda på om en punkt vars derivata är 0 är maximum, minimu, eller terrasspunkt.

Om man vet att alla jämna potenser ser ut i stort sett som ett U - med stora positiva y-värden både för stora negativa och stora positiva x-värden - kan man resonera sig fram till vilka av derivatans nollställen som är maximum respektive minnimum, men jag rekommenderar antingen andraderivatan eller teckenstudium.

Smaragdalena skrev:

Gissar på att jag ska sätta in dessa x-värden i ursprungsekvationen,

Ett utmärkt förslag!

f'(0) = -40 -> mindre än noll, maxpunkt 0
f'(-2) = 56 -> större än noll, minimipunkt 0
f'(5) = 140 -> större än noll, minimipunkt 0

Här är det lite svårt att förstå vad du gör - du gör i alla fall inte det du skriver att du gör. Du har ju just kommit fram till att f'(x)=0 i de tre punkterna, så det kan inte vara -40, 56 eller 140 samtidigt. Förmodligen har du räknat ut f(x) i de tre punkterna. Sedan tror jag att du har blandat ihop det med tecknet för andraderivatan, som man kan använda för att ta reda på om en punkt vars derivata är 0 är maximum, minimu, eller terrasspunkt.

Om man vet att alla jämna potenser ser ut i stort sett som ett U - med stora positiva y-värden både för stora negativa och stora positiva x-värden - kan man resonera sig fram till vilka av derivatans nollställen som är maximum respektive minnimum, men jag rekommenderar antingen andraderivatan eller teckenstudium.

Så, x = -2 och x = 5 är minimipunkter och noll är maximipunkt? eller hur menar du? hur ska jag kunna gå vidare?

Nu vart detta är en skrutten teckenstudium men är det så här du menar?

Jag förstår inte din teckenstudietabell, eftersom du bara har tagit med 2 av 3 intressanta x-värden. Du kan inte vara säker på att derivatans tecken är samma på hela intervallet mellan x=-2 och x=5 (i själva verket vet jag att det inte är så).

Smaragdalena skrev:

Jag förstår inte din teckenstudietabell, eftersom du bara har tagit med 2 av 3 intressanta x-värden. Du kan inte vara säker på att derivatans tecken är samma på hela intervallet mellan x=-2 och x=5 (i själva verket vet jag att det inte är så).

Oki. Om jag sätter in x-värdena i ursprungsekvationen så får jag detta,

f'(-2)=4*(-2)^3-12*(-2)^2-40*(-2)=0

f'(0)=4*0^3-12*0^2-40*0=0

f'(5)=4*5^3-12*5^2-40*5=0

Nej, nu har du satt in de tre x-värdena i (första)derivatan och då borde det inte vara förvånande att alla värdena blir 0 - det är ju just därför vi har valt just dessa x-värden.

Vilken blir andraderivatan?

Smaragdalena skrev:

Nej, nu har du satt in de tre x-värdena i (första)derivatan och då borde det inte vara förvånande att alla värdena blir 0 - det är ju just därför vi har valt just dessa x-värden.

Vilken blir andraderivatan?

Ja, det blir 

f''(x) = 12x - 24x - 40x 

om jag nu har räknat rätt

$f(x)=x^4-4x^3-20x^2$

$f'(x)=4x^3-12x^2-40x$

Vi söker derivatans nollställen, dvs vi löser ekvationen $f'(x)=0$:

$4x^3-12x^2-40x=0$

Faktorisera VL:

$x(4x^2-12x-40)=0$

Nollproduktmetoden ger oss direkt en lösning $x_1=0$.

De övriga lösningarna får vi ur $4x^2-12x-40=0$, dvs $x^2-3x-10=0$, dvs $x_2=5$ och $x_3=-2$.

$f(x)$ har alltså extrempunkter vid $x_1=0$, $x_2=5$ och $x_3=-2$.

Vi tittar på andraderivatans tecken vid dessa x-värden för att avgöra extrempunkternas karaktär.

$f''(x)=12x^2-24x-40$

-----------

$f''(x_1)=f''(0)=12\cdot0^2-24\cdot0-40=$

$=-40<0$, dvs en maxpunkt.

-----------

$f''(x_2)=f''(5)=12\cdot5^2-24\cdot5-40=$

$=12\cdot25-120-40=100-40=100>0$, dvs en minpunkt.

------

$f''(x_3)=f''(-2)=$

$=12\cdot (-2)^2-24\cdot (-2)-40=$

$=12\cdot4+48-40=56>0$, dvs en minpunkt.